奇偶函數的對偶性質

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

奇、偶函數具有很多簡潔、優美的性質，其中有一對樸素的對偶性質.但是這兩個平凡而簡單的性質卻沒有引起大家的足夠重視，以至于解決一些相關問題時，找不到突破口，簡單問題復雜化.如果能恰當利用這些性質可以很輕松地解決許多問題.下面就此類問題總結了幾種常見的題型,僅供大家參考.

一、奇函數的性質

如果奇函數y=f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0.

簡證因為f(x)是奇函數，所以有f(-x)=-f(x).

又x=0在定義域內，所以有f(0)=-f(0),移項后得f(0)=0.

二、偶函數的性質

如果可導的偶函數y=f(x)在x=0處有定義，則f′(0)=0.

簡證偶函數y=f(x)在x=0處有定義，則f(-x)=f(x)，兩邊關于x求導，則-f′(-x)=f′(x)，即-f′(0)=f′(0)，則f′(0)=0.

例1 (2014年湖南卷)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數，則a=____.

常規解法因為函數f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數，所以有f(-x)=f(x)，即

ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax，

ln(e3x+1)-3x-ax=ln(e3x+1)+ax，