自定義信息解答題的功能及特點

朱恒元

(浙江省義烏中學 322000)

高考數學命題有一條重要原則，那就是“既考查中學數學的知識和方法，又考查考生進入高校繼續學習的潛能”.學習潛能如何考查？通常采用“自選動作”，通過自定義信息題考查學生即時學習的能力.自定義信息題可以有效考查學生收集信息、提煉加工、靈活運用的學習潛能.自定義信息題，過去在選擇、填空題中頻頻出現，而今在解答題中也量增質高.下面略舉數例，著重談談它作為“壓軸性”解答題的功能及特點.

一、自定義集合

例1 記所有非零向量構成的集合為V，對于a，b∈V，a≠b，定義V(a，b)={x∈V|x·a=x·b}.

(1)請你任意寫出兩個平面向量a，b，并寫出集合V(a，b)中的三個元素；

(2)請根據你在(1)中寫出的三個元素，猜想集合V(a，b)中元素的關系，并試著給出證明；

(3)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求證：一定存在實數λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c．

解析(1)比如a(1，2)，b=(3，4)，設x=(x，y)，由x·a=x·b，可得x+2y=3x+4y，即為x+y=0，則集合V(a，b)中的三個元素為(1，-1)，(2，-2)，(3，-3).

(2)由(1)可得這些向量共線．

(3)證明：設x=(s，t)，a=(a，b)，b=(c，d)，y=(u，v)，c=(e，f).

若V(a，b)=V(a，c)，

即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，

點評本題以平面向量為載體自定義一個集合，考查平面向量的數量積、共線向量等基礎知識，考查向量運算的基本技能以及觀察、歸納、推理能力．

二、自定義函數

例2 已知函數f(x)，定義

(1)寫出函數F(2x-1)的解析式；

(2)若F(|x-a|)+F(2x-1)=0，求實數a的值；

當2x-1>x，可得x>1，則F(2x-1)=1；

當2x-1=x，可得x=1，則F(2x-1)=0；

當2x-1

(2)當x>1時，F(2x-1)=1，F(|x-a|)=-1，

即有|x-a|1恒成立，

即有a2≤2a，解得0≤a≤2.

當x=1時，F(2x-1)=0，F(|x-a|)=0，

可得|1-a|=1，解得a=0或2；

當x<1時，F(2x-1)=-1，F(|x-a|)=1，

即有|x-a|>x恒成立，即為a2≥2ax在x<1恒成立，

即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0.

綜上，a的值為0或2.

可得cosx=0或F(x+sinx)=0，

則h(x)的零點個數為2；

當x+sinx=x，即x=π時，h(x)=0；

綜上可得，h(x)的值域為(-1，1)．

點評本題通過自定義“復合”函數，考查函數的解析式、定義域、值域、零點和三角函數求值等基礎知識，考查分類討論的思想方法以及分析問題的綜合能力．

三、自定義數列

例3 對任意正數M，取正整數對于項數為m的有窮數列數集{an}，記bk=max{a1,a2,…,ak}(k=1,2,…,m)，即bk為a1,a2,…,ak中的最大值，并稱數列{bn}是{an}的控制數列.如1,3,2,5,5的控制數列是1,3,3,5,5.

(1)若各項均為正整數的數列{an}的控制數列為2,3,4,5,5，寫出所有的{an}；

(2)設{bn}是{an}的控制數列，滿足ak+bm-k+1=C(C為常數，k=1,2,…,m).

求證：bk=ak(k=1,2,…,m)；

解析(1)數列{an}為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.

(2)因為bk=max{a1,a2,…,ak},bk+1=max{a1,a2,…,ak,ak+1},所以bk+1≥bk.

因為ak+bm-k+1=C,ak+1+bm-k=C,所以ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak.

因此，bk=ak.

(3)對k=1,2,…,25,a4k-3=a(4k-3)2+(4k-3);a4k-2=a(4k-2)2+(4k-2);a4k-1=a(4k-1)2-(4k-1);a4k=a(4k)2-(4k).

比較大小，可得a4k-2>44k-3.

又a4k+1>a4k.

從而b4k-3=a4k-3,b4k-2=a4k-2,b4k-1=a4k-2,b4k=a4k.

(b1-a1)+(b2-a2)+…+(b100-a100)

=(b3-a3)+(b7-a7)+(b10-a10)+…+(b4k-1-a4k-1)+…+(b99-a99)

=(a2-a3)+(a6-a7)+(a9-a10)+…+(a4k-2-a4k-1)+…+(a98-a99)

=2525(1-a).

點評本題通過自定義“控制”數列，考查數列的通項公式、等差和等比數列的基本性質等基礎知識，考查數列運算的基本技能以及分析探究和推理論證的能力．

四、自定義距離

例4 已知平面內的線段l及點P，在l上任取一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d(P,l).

(1)求點P(1,1)到線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距離d(P,l);

(2)設l是長為2的線段，求點集D={P|d(P,l)≤1}所表示圖形的面積；

(3)寫出到兩條線段l1,l2距離相等的點的集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)},其中l1=AB,l2=CD,A,B,C,D是下列三組點中的一組，對于下列三組點只需選做一種．

①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0).

②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2).

③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)．

解析(1)設Q(x,x-3)是線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)上一點，則

(2)設線段l的端點分別為A，B，以直線AB為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，則A(-1，0)，B(1，0)，點集D由如下曲線圍成

l1∶y=1(|x|≤1),l2∶y=-1(|x|≤1)；

C1∶(x+1)2+y2=1(x≤-1),C2∶(x-1)2+y2=1(x≥1).

其面積為S=4+π.

(3)①選擇A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0),Ω={(x,y)|x=0}.

②選擇A(1，3)，B(1，0)，C(-1，3)，D(-1，-2).

Ω={(x,y)|x=0,y≥0}∪{(x,y)|y2=4x,-2≤y<0}∪{(x,y)|x+y+1=0,x>1}.

③選擇A(0，1)，B(0，0)，C(0，0)，D(2，0).

Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}∪{(x,y)|y=x,02}.

點評本題自定義“點P到線段l的距離”，考查建立坐標系、點的集合、圓的方程和函數表達式、最小值等基礎知識，考查數學語言表達和分析解決問題的能力．

五、自定義性質

例5 若無窮數列{an}滿足：只要ap=aq(p,q∈N*)，必有ap+1=aq+1，則稱{an}具有性質P.

(1)若{an}具有性質P，且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；

(2)若無窮數列{bn}是等差數列，無窮數列{cn}是公比為正數的等比數列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn判斷{an}是否具有性質P，并說明理由；

(3)設{bn}是無窮數列，已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求證：“對任意a1,{an}都具有性質P”的充要條件為“{bn}是常數列”.

解析(1)因為a5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2．

于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因為a6+a7+a8=21，解得a3=16．

an=bn+cn=20n-19+35-n．

所以{an}不具有性質Ρ．

(3)充分性：

當{bn}為常數列時，an+1=b1+sinan．

對任意給定的a1，只要ap=aq，則由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1．

充分性得證．

必要性：

用反證法證明．假設{bn}不是常數列，則存在k∈N*，使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b．

下面證明存在滿足an+1=bn+sinan的{an}，使得a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1．

設f(x)=x-sinx-b，取m∈N*，使得mπ>|b|，則f(mπ)=mπ-b>0，f(-mπ)=-mπ-b<0，故存在c使得f(c)=0．

取a1=c，因為an+1=b+sinan(1≤n≤k)，所以a2=b+sinc=c=a1，

依此類推，得a1=a2=…=ak+1=c．

但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc≠b+sinc，即ak+2≠ak+1．

所以{an}不具有性質Ρ，矛盾．

必要性得證．

綜上，“對任意a1，{an}都具有性質Ρ”的充要條件為“{bn}是常數列”．

點評本題考查等差、等比數列的性質和三角函數等基礎知識，著重考查運用反證法等證明方法進行推理論證的能力．

六、自定義運算

(2)由a2-4b>0知點M(a,b)在拋物線L的下方，

①當a>0,b≥0時，作圖可知，若M(a,b)∈X，則p1>p2≥0，得|p1|>|p2|.若|p1|>|p2|，顯然有點M(a,b)∈X,∴M(a,b)∈X?|p1|>|p2|．

②當a>0,b<0時，點M(a,b)在第四象限，作圖可知，若M(a,b)∈X，則p1>0>p2，且|p1|>|p2|.

若|p1|>|p2|，顯然有點M(a,b)∈X,∴M(a,b)∈X?|p1|>|p2|．

根據曲線的對稱性可知，當a<0時，M(a,b)∈X?|p1|>|p2|．

綜上所述，M(a,b)∈X?|p1|>|p2|(*).

綜合(*)式，得證．

∵q≤p-1，

點評本題通過自定義“運算”，考查函數的導數、方程求解、不等式、曲線方程及性質等基礎知識，考查運算求解的基本技能、分類討論的思想方法以及推理論證的思維能力．