例談新定義數列的解題

時英雄 湯 旭

(安徽省合肥市第一中學 230601)

在高中數列的學習中，主要就是定義了等差數列、等比數列，那么有沒有等和數列，等積數列等等這樣的新定義的數列呢？其實，在很多的數列題目中經常能遇到新定義的數列，它需要學生對知識進行遷移，利用對等差、等比數列的理解進行歸納，類比等，找出新定義的數列的核心來解題.下面就一些常見的新定義數列問題，談談此類問題的解法，以饗讀者.

一、等和數列

例1 定義：把滿足an+an-1=k(n≥2,k為常數)的數列叫做等和數列，常數k叫做數列的公和.若等和數列{an}的首項為1，公和為3,則其前n項和Sn=____.

評注等和數列的本質就是奇數項和偶數項分別為兩組常數列構成，是一個擺動數列.掌握這一特點，求通項、求和等問題就可迎刃而解了.

二、絕對和數列

例2 定義：若數列{an}對任意的正整數n，都有|an|+|an+1|=k(k為常數),則稱{an}為絕對和數列，常數k叫做數列的絕對公和，已知絕對和數列{an}中，a1=2，k=2，則其前2010項和S2010的最小值為____.

解析由定義|a1|+|a2|=2，a1=2，所以|a2|=0,|a3|=2,|a4|=0,…

所以n為奇數時，|an|=2，n為偶數時，|an|=0，要使S2010最小，則a3=a5=...=a2009=-2，(S2010)min=2-2×1004=-2006.

評注絕對和數列與等和數列的研究類似，只不過奇數項和偶數項在取值時都有正負兩種選擇，比等和數列要復雜一點，也可以將題目設計為前2010項和為定值，求數列個數，這樣牽涉到排列組合知識，留給讀者自己研究，這里不做贅述.

三、等比和數列

由此可得：a2n-1=a1×2n-1=2n-1,故a2009=21004.

評注等比和數列比等和數列多了一步構造，奇數項和偶數項由原來的兩組常數列變為兩組等比數列，還是分奇偶研究，實質沒變.

四、等積數列

例4 在一個數列中，如果對?n∈N*都有anan+1an+2=k(k為常數)，那么這個數列叫做等積數列，常數k叫做數列的公積.若等積數列{an}中a1=1,a2=2,k=8，則a1+a2+…+a12=____.

解析由題設anan+1an+2=8，,an+1an+2an+3=8，兩式相除得：an+3=an.{an}是一個周期為3的周期數列.

又由a1a2a3=8,a1=1,a2=2,所以a3=4.

所以，a1+a2+a3=7，a1+a2+…+a12=4×7=28.

評注這里的等積數列給的是連續三項的積為同一個常數，若給出的是連續兩項則與例1給出的等和數列如出一則，這里用連續三項構造出一個周期數列，利用一個周期內的幾項和為定值，即可求出特定的前n項和.

五、等差比數列

①k不可能為0；

②等差數列一定是等差比數列；

③等比數列一定是等差比數列；

④通項公式為an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的數列一定是等差比數列；

⑤等差比數列中可以有無數項為0.

其中正確命題的序號是____.

解析對于①，若k為0，則an+2-an+1=0，從而an+1-an=0，矛盾，故①正確.

對于②，若等差數列公差為0，則an+1-an=0，矛盾，故②不正確.

對于③，若等差數列公比為1，則an+1-an=0，矛盾，故③不正確.

對于⑤，若等差比數列中可以有無數項為0，則存在an+1-an=0，矛盾，故⑤不正確.

評注本題新定義了等差比數列，對能否構成等差比數列的條件進行了研究，對其性質進行了研究，這也是新定義問題的一種考察方向，本題抓住an+1-an≠0這個關鍵點即可.

六、等方差數列

②{(-1)n}是等方差數列；

③若{an}是等方差數列，則{akn} (k∈N*,k為常數)是等方差數列；

④若{an}是等方差數列，又是等差數列，則該數列是常數列.

其中正確命題的序號是____.

對于②，[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0，故{(-1)n}是等方差數列，故②正確.

高考中的新定義問題尤其是數列問題并不少見，雖然是新的定義，新的知識點，但是研究新數列的過程和方法都是大家所熟悉的，所以只要平時在學習的過程中能扎扎實實，將學習的過程和研究的方法遷移過來后，就會發現其實就是舉一反三，本文中舉的幾個例子就是平常比較常見的新定義數列.在平時的學習過程中大家也可以按照類似的思路編擬一些類似的題目來拓展思維，然后發現一些特殊的有意思的數列，在學習之余增加一些樂趣.