巧用放縮法 破解導數題

朱小扣

(安徽省無為縣牛埠中學 238351)

導數是高中數學的重要內容和考點，筆者發現利用課本上的兩個常用不等式，進行放縮，可以迅速破解導數問題.本文通過探討其在五類導數題中的應用，以期對同學們備戰高考有所幫助.現分析如下，供大家參考.

一、知識點梳理

兩個常用的放縮不等式

(1)指數放縮：ex≥x+1，x∈R，當且僅當x=0時等號成立.

(2)對數放縮：lnx≤x-1，x∈(0,+)，當且僅當x=1時等號成立.

二、命題規律揭示

1.判斷導數的恒正或恒負

例1 當x>1時，ex≥x2+bx+1恒成立，則b的取值范圍是____.

所以h(x)在(1,+)單調遞增，故h(x)>h(1)=e-2 ，所以b≤e-2.

點評本題解答過程中，通過常用不等式可以迅速判斷導數的正負，省去了大量的繁瑣討論,使問題順利求解.

2.結合變量分離 求參數的范圍

解析(1)當x=0時，0≥0，a∈R.

綜合(1)(2)得a≤1.(用洛必達法檢驗也可得到a≤1)

故選A.

例3 (2016年廣東預賽)設函數f(x)=ex-1-x-ax2,當x≥0時單調遞增，則a的取值范圍為.

點評本題解答過程中，結合使用了分離參數的思想方法，通過兩個常用放縮不等式，可以秒殺此類題.因此利用放縮不等式是求參數的范圍問題的一大利器.

3.利用橋梁 構造兩個不等式

證明(1)過程略.

由ex>x+1(x≠1)且以x-1換x得：ex-1>x

綜上，原不等式得證.

點評本題兩個常用不等式為命題背景，通過構造橋梁及兩次證明，考查了同學們對兩個常用不等式掌握能力及對兩個常用不等式的深度理解.

4.推廣常用放縮不等式

例5 (2018年廣州市普通高中畢業班綜合測試)已知f(x)=ax+lnx+1.

(1)討論函數f(x)零點的個數；

(2)對任意的x>0,f(x)≤xe2x恒成立，求實數a的取值范圍.

解析(1)當a<-1時，函數f(x)沒有零點，當a=-1或a≥0時，函數f(x)有1個零點，當-1

所以a的取值范圍是(-,2]

(1)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)證明：f(x)>1.

解析(1)曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=e(x-1)+2(過程略).

故只需證：exlnx+2>1.

令h(x)=exlnx+2(x>0)，則h′(x)=e(lnx+1)

三、常用不等式的延拓

從兩個常用不等式出發，可以延拓得到了另外五個高考中多次運用的重要公式，過程如下：

除此之外還要掌握如下不等式(可以用求導來證明，過程略)：

總結以上列舉了利用常用不等式，放縮解決導數題的類型，并推廣了常用不等式.在近幾年的各類考試中，以常用不等式為背景的試題屢見不鮮，且常考常新，應引起足夠的重視. 與此同時在解決類似的問題時，應多角度，多思維的去考慮.方法和技巧也不能生搬硬套，必須自己嘗試、自己領悟，在解題中達到自身水平的提高.