“設而不求”縱橫談
——對高中數學中“設而不求”解題思想探究和感悟

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

文獻[1]針對運用“設而不求”的解題思想解決解析幾何問題做了很全面的論述，使讀者感受到了該思想在解題中的強大威力和不可取代的作用.事實上除解析幾何單元外，“設而不求”解題思想在高中數學其它章節同樣有所應用，它的作用是能幫助我們解決了看似不可解的數學問題，達到了意想不到的效果，因此，其在其它單元解題中同樣具有強大威力和不可取代的作用.另外，近幾年高考試題對此的考查也有所體現，而且從新課標考查數學科素養統領高考命題的角度來判斷，在其它高中數學單元“設而不求”的解題思想將會有逐步受到重視的傾向，可見對其進行進一步探究和挖掘是有必要的.

下面分別按高中各單元內容列舉幾個例子(不包含解析幾何單元)，試圖通過這些實例對“設而不求”解題思想在各單元解題中如何運用、題型特點、解題思考給予說明.

一、函數性質運用中的“設而不求”

A.a

C.c

由此得f(2)=f(π-2) ，f(3)=f(π-3).

分析從本題已知條件的結構上來看，通過解出a、b、c的值來判斷大小是不可能的，所以，轉而思考利用函數性質解題.從上述解題過程來看，利用偶函數性質轉化自變量的數值范圍，再借助函數單調性達到問題的解決.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

略解注意到函數如下性質：1.函數f(x)的圖象關于點(1，1)對稱的充要條件是f(x)=2-f(2-x).2.函數f(x)的圖象關于點(1,1)對稱，則其對稱區間上最值相反.

分析本題同樣是不可直接求出最大小值的問題，所以，思考如何借助函數性質解決.從解題過程看，本題主要是利用函數圖象關于點對稱的性質解決的.從考綱和教材角度看，簡單的點對稱、直線對稱問題是高考和教材所要求的，所以，對這方面相關知識的積累與運用是必須要掌握的.

縱觀高中數學中涉及的函數性質，大致劃分為：奇偶性、對稱性、單調性、周期性等，這些性質都是高考要求的，而且也是可以和“設而不求”進行整合組題的，所以，平時學習時，多注意函數性質的積累和挖掘，加之“設而不求”技巧的運用，對提高解題水平是大有幫助的.

二、函數與方程問題中的“設而不求”

A.lg12 B.2lg12 C.3lg12 D.4lg12

分析函數與方程是高中數學重點知識，也是高考熱點.在眾多的函數與方程的題型中，不通過求方程根的手段解決問題是重要的、也是有一定難度的問題，本題就是其中之一.就其解法，其解題基本思考是數形結合，利用數形結合確定根的分布狀況，從而實現問題的解決.

三、存在性問題中的“設而不求”

四、導數應用中的“設而不求”

又由已知得x∈(-，x1)時f(x)為增函數，x∈(x1，x2)時f(x)為減函數，x∈(x2，+)時f(x)為增函數，所以x2為(x1，x2)上的極小值點，所以

分析本題的解決并不是解出極值點，再進行數值計算得到的，而是借助于導數在求極值、求單調區間、判斷函數單調性方面的應用，借助極值對式子進行放縮變換而得到的.

五、平面向量中的“設而不求”

分析問題的解決并不是求x、y的值，而是借助平面向量基本定理和三點共線的結論等式③，采取代入的辦法建立起x、y的關系式，達到求值的目的.

六、三角函數中的“設而不求”

從解題過程看，由條件找到函數對稱軸，再利用正弦函數在對稱軸處函數值的特征得到問題的解決.

七、數列中的“設而不求”

例8 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9=54，則a2+a4+a9的值為( ).

A. 9 B.18 C.24 D. 54

略解設等差數列的首項為a1, 公差為d，則9a1+36d=54，所以a1+4d=6.又a2+a4+a9=3a1+12d=3(a1+4d)=18，因此答案選B.

分析從等差數列的結構來看，求等差數列中的項一般需要知道首項和公差.顯然由已知條件可以看出要分別求出首項和公差是不可能的，另從運用等差數列等距性角度看，也可直接使用.所以，從這個意義上講，本題是一道解法比較獨特的問題，獨特在將已知和求解式均轉化為a1+4d，也就是整體解題，而不是解出數列的首項和公差.

事實上，關于“設而不求”解題技巧在高中數學各章節(包括立體幾何、空間向量)的運用還有很多例子，限于篇幅就不過多贅述.

作為“設而不求”解題技巧運用的小結，筆者感覺一是解題時如何想到運用“設而不求”解題技巧；二是如何入手使用“設而不求”解題技巧進行求解.對于第一個問題我的回復是看似不可用正常方法推理解決的問題.對于第二個問題我的回復是在敢于設未知量的前提下，注意函數性質、數形結合、整體解題、公式代入等思想方法的綜合運用.