利用導函數性質證明數列不等式問題

耿玉明

(廣東省深圳市寶安中學 518101)

一、利用參數取值范圍的臨界值創設原型不等式

(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)≥lnx在[1,+)上恒成立，求a的取值范圍；

思維特點先根據參數a的取值范圍，取其臨界值創設原型不等式，再通過對x賦值證明數列不等式.

二、 利用函數單調性結論創設原型不等式

例2 已知函數f(x)=2aln(1+x)-x(a>0).

(1)求f(x)的單調區間；

解(1)可求f(x)的單調遞增區間為(-1,2a-1),單調遞減區間為(2a-1,+)(略)

∴x∈(0,+)時,f(x)

思維特點先根據所求的單調區間，利用函數單調性在某一特定區間上創設原型不等式，再通過對x賦值證明數列不等式.

三、 利用函數的切線方程創設原型不等式

例3 已知函數f(x)=e1-x及g(x)=ln(3-x).

(1)求函數f(x)與g(x)的公切線方程;

(2)根據(1)結論，并由圖可知ln(3-x)≤-x+2≤e1-x對于x∈R恒成立

思維特點先根據所求函數f(x)的切線方程，并借助于函數的凸凹性創設在某一區間上的原型不等式，再通過對x賦值證明數列不等式.