基于apFFT的I/Q通道幅相誤差校正算法

杜夢(mèng)園，趙宏鐘，贠齡童

(1.航天工程大學(xué) 研究生管理大隊(duì)，北京101416； 2.航天工程大學(xué) 電子與光學(xué)工程系，北京101416)

0 引言

對(duì)于I/Q正交采樣技術(shù)，目前多采用直接中頻數(shù)字采樣，然后在數(shù)字域進(jìn)行正交數(shù)字濾波實(shí)現(xiàn)校正，鏡像抑制度可以達(dá)到60 dB以上。然而這種方法需要對(duì)雷達(dá)接收信號(hào)進(jìn)行高速、高精度地采樣，對(duì)于寬帶雷達(dá)信號(hào)而言，勢(shì)必增加了A/D采樣的難度和成本。因此，在很多寬帶雷達(dá)系統(tǒng)中依然采用模擬正交混頻來獲取I/Q信號(hào)，但是由于模擬電路的固有特性，這種方法一般存在較大的I/Q正交性幅相誤差，導(dǎo)致鏡像抑制度不能滿足要求，必須對(duì)此校正。文獻(xiàn)[1]采用正負(fù)調(diào)頻率的線性調(diào)頻信號(hào)作為定標(biāo)信號(hào)，并做DTFT反解出雷達(dá)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，以此構(gòu)建接收信號(hào)的校正函數(shù)，并進(jìn)行誤差校正。文獻(xiàn)[2]將模擬I/Q解調(diào)信號(hào)作為2個(gè)隨機(jī)過程，通過推導(dǎo)I/Q信號(hào)支路的二階統(tǒng)計(jì)量，估計(jì)出相對(duì)的幅相誤差，并由此設(shè)計(jì)了一個(gè)幅相誤差校正網(wǎng)絡(luò)，得到了較好的校正結(jié)果。文獻(xiàn)[3]對(duì)模擬I/Q采樣信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，分別估計(jì)頻譜中主頻與鏡頻的實(shí)部與虛部的比值，求出I/Q支路的幅相誤差校正系數(shù)，但由于主頻和鏡頻分量的譜估計(jì)存在誤差，尤其是鏡頻分量受噪聲影響很大，誤差補(bǔ)償精度不高。文獻(xiàn)[4]基于統(tǒng)計(jì)平均的思想，利用統(tǒng)計(jì)量——期望、方差，依次估計(jì)并補(bǔ)償直流偏置誤差、幅度誤差和相位誤差，由于該法是將3個(gè)誤差量成“遞進(jìn)式”的補(bǔ)償，因此，前一個(gè)誤差估計(jì)精度會(huì)影響下一個(gè)誤差估計(jì)精度。文獻(xiàn)[5]提出一種自適應(yīng)算法可以分離由I/Q通道誤差引入的鏡像分量，但是該算法運(yùn)算量大、迭代次數(shù)多，在許多場(chǎng)合的實(shí)際應(yīng)用上受到諸多限制。文獻(xiàn)[6]將Q路基帶信號(hào)分為2路，并分別乘以不同的校正因子后該方法可將相位誤差校正到0. 5°以下，幅度誤差校正到0. 05 dB以下。

本文通過對(duì)I/Q正交性幅相誤差建模，利用矩陣束算法，由N點(diǎn)數(shù)據(jù)前向外推N-1得到2N-1點(diǎn)數(shù)據(jù)，作為apFFT的輸入，求I/Q兩路信號(hào)的初相位之差即為相位誤差，而求傳統(tǒng)FFT譜峰之比即為幅度誤差。最后通過仿真驗(yàn)證了矩陣束前向外推的可靠性及幅相誤差的估計(jì)精度。

1 信號(hào)觀測(cè)模型

幅相誤差校正是雷達(dá)系統(tǒng)中經(jīng)常需要解決的問題，其中很重要的一種就是I/Q通道幅相誤差，該誤差是由于模擬正交解調(diào)器存在解調(diào)誤差，導(dǎo)致I/Q兩路信號(hào)的相位不是嚴(yán)格地相等，幅度也存在一定的偏差。這種幅相誤差的存在導(dǎo)致I/Q路合成的解析信號(hào)存在一個(gè)鏡頻，存在諸多誤差和問題。模擬I/Q解調(diào)示意圖如圖1所示。

圖1 模擬I/Q解調(diào)原理

圖1中，由于采用模擬I/Q解調(diào)處理，存在I/Q正交性幅相誤差。假設(shè)存在幅相誤差的I/Q兩路信號(hào)Dechirp后的觀測(cè)模型如式(1)和式(2)所示，其中K1和β分別為I/Q兩路的正交性幅相誤差。

I(t)=A1cos(-2πKtτ)，

(1)

Q(t)=K1·A1·sin(-2πKtτ+β)。(2)

需要說明的是，當(dāng)I/Q通道存在幅相誤差時(shí)，則輸出解析信號(hào)的頻譜除了主信號(hào)，還存在一個(gè)鏡頻分量。評(píng)價(jià)I/Q正交性幅相誤差補(bǔ)償效果一般由鏡像抑制度來衡量，其定義為鏡頻譜與主頻譜幅度之比的對(duì)數(shù)，如式(3)所示[7]：

(3)

而求出該誤差后可利用式(4)補(bǔ)償[4]：

(4)

2 校正原理

2. 1 通道誤差建模

校正過程如圖2所示，以實(shí)部為參考校正虛部，只需求出K1和β用式(4)補(bǔ)償即可。由矩陣束前向外推得到apFFT輸入所需的-(N-1)～N-1的采樣序列，則apFFT即可直接求出采樣0點(diǎn)的精準(zhǔn)相位β，由實(shí)部、虛部的傳統(tǒng)FFT譜峰之比即可得到K1。

圖2 I/Q正交性幅相誤差校正原理

假設(shè)LFM回波經(jīng)Dechirp處理后，存在幅相誤差的I/Q兩路信號(hào)通過各個(gè)多通道后的實(shí)部、虛部如式(5)和式(6)所示，a1，a2是通道中的直流偏差，由于校正幅度誤差只需校正K1即可。因此，假設(shè)A1=1，β是相位誤差。在實(shí)際操作中需要求出實(shí)部虛部的幅度相位，再分別求比值與差值，本文限于篇幅，以實(shí)部為參考，配準(zhǔn)虛部，直接推導(dǎo)虛部的初相位并求實(shí)部虛部的幅度比。

Xre(t)=cos(-2πKtτ)+a1，

(5)

Xim(t)=K1·sin(-2πKtτ+β)+a2。

(6)

對(duì)式(5)和式(6)需要先去直流，由駐定相位原理可知，采用式(7)和式(8)去直流：

(7)

(8)

將去直流后的式(6)離散化寫為：

(9)

2. 2 apFFT及校正原理

圖3 apFFT原理

(10)

由于DFT具有線性性質(zhì)，則式(10)對(duì)i求和的平均即為全相位的輸出：

(11)

(12)

(13)

(14)

由式(13)可見，求譜峰處的相位即可求得采樣0點(diǎn)相位，即初相位。

(15)

由以往研究以及式(14)可見，apFFT譜值是傳統(tǒng)FFT的平方，具有抑制頻譜泄露的效果，且具有相位不變性，具有較傳統(tǒng)FFT更好的性質(zhì)[ 12]。而幅度誤差本文利用對(duì)實(shí)部、虛部傳統(tǒng)FFT譜峰之比求解。這是由于本文apFFT的輸入數(shù)據(jù)是前向外推所得，是對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)得到的估計(jì)值，為減小誤差，故如此求解。

2. 3 矩陣束外推

矩陣束方法被廣泛地應(yīng)用于衰減指數(shù)和(Damped Exponential，DE)模型參數(shù)估計(jì)中[13-15]，下面給出矩陣束前向外推方法。本文采用的線性調(diào)頻波可等效為DE模型，式(9)可變形為：

n=0，1，…，N-1。

(16)

(17)

(18)

式(17)和式(18)中，

(19)

(20)

式中，w=0，1，…，M0-1。

而2個(gè)hankel矩陣H1和H2又可表示為：

(21)

式(21)中，

(22)

(23)

D=diag(d1，d2，…dQ)；P=diag(p1，p2，…pQ)；diag表示對(duì)角陣；d1，d2，…dQ和p1，p2，…pQ是幅度和極點(diǎn)。

由式(21)觀察可知：

H2-λH1=PLD(P-λIQ)PR，

(24)

式中，IQ為Q×Q的單位陣；H2-λH1稱為矩陣束，可見該矩陣束的廣義特征值就是DE模型的極點(diǎn)[18-19]。

(25)

(26)

(27)

(28)

對(duì)式(27)和式(28)求矩陣束的特征值即為DE模型極點(diǎn)。將DE模型寫為矩陣形式

(29)

易見是一個(gè)線性最小二乘問題，則幅度系數(shù)的估計(jì)值為：

(30)

而由式(16)可見DE模型的幅度極點(diǎn)都是常數(shù)，即-(N-1)～N-1的序列的幅度極點(diǎn)都分別相同，因此可直接用式(31)前向外推：

n′=-(N-1)，-N+2，…，N-1。

(31)

3 仿真驗(yàn)證及結(jié)果分析

假設(shè)雷達(dá)帶寬為200 MHz，脈寬為2 ms，采樣率為256 kHz，在如式(5)和式(6)模型下，觀測(cè)的散射中心徑向距離為110 m，I/Q通道相位誤差為-π/3，幅度誤差為0. 3。首先考察利用矩陣束前向外推的效果，設(shè)置如式(9)所示(已去直流)，但采樣點(diǎn)為-(N-1)～N-1的序列作為理論數(shù)據(jù)，截取0～N-1點(diǎn)序列作為矩陣束前向外推的輸入。用外推數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)評(píng)價(jià)二者的擬合度。在-10～20 dB信噪比下，每隔2 dB做100次蒙特卡洛試驗(yàn)所得結(jié)果如圖4所示。

圖4 外推數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)

由以往研究可知，相關(guān)系數(shù)為0. 5～0. 8表明顯著相關(guān)，0. 8～1表明高度相關(guān)[20]。由圖4可知大約3 dB和-4 dB左右信噪比相關(guān)系數(shù)分別達(dá)到了0. 8和0. 5，具有一定的可靠性。而-10～-6 dB信噪比時(shí)由于外推數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)差距較大，仿真時(shí)顯示NaN，未能在圖4中畫出。

得到前向外推數(shù)據(jù)后，按照上述方法求解I/Q正交性幅相誤差。在信噪比為-10～20 dB的條件下，每隔2 dB做1 000次蒙特卡洛試驗(yàn)，觀察算法的精度和穩(wěn)健性。如圖5(a)所示幅度誤差很小，在每個(gè)信噪比下都在10-3數(shù)量級(jí)，相位誤差在-2 dB以上信噪比時(shí)趨于穩(wěn)定于1°以下，精度很高，而在低信噪比時(shí)相位誤差較大，這是由于上述外推誤差造成的，而幅度誤差由傳統(tǒng)FFT求得，因此影響不大。從鏡像抑制度上看，信噪比3 dB左右時(shí)，鏡像抑制度已經(jīng)達(dá)到60 dB，滿足大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合。

圖5 幅相的絕對(duì)誤差隨信噪比的變化

圖6 鏡像抑制度隨信噪比的變化

為了進(jìn)一步說明本文方法(記為A方法)的優(yōu)越性，與文獻(xiàn)[2]方法(記為B方法)做了對(duì)比，在同等條件下的100次蒙特卡洛試驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。可見A方法幅度誤差較B方法小。在-10～-6 dB信噪比時(shí)，A方法相位誤差較B方法大，這是由于此時(shí)前向外推誤差較大，對(duì)初相位求解影響較大。但是在-6 dB以上信噪比時(shí)，前向外推數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)擬合度高，A方法相位誤差較B方法小。總之，在-6 dB以上信噪比，A方法優(yōu)于B方法。

圖7 兩種方法的對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將矩陣束前向外推與apFFT相結(jié)合，用apFFT和傳統(tǒng)FFT分別求I/Q通道相位、幅度誤差，取得了令人滿意的效果。仿真結(jié)果表明，在3 dB以上信噪比時(shí)，矩陣束前向外推數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)擬合度很高，且I/Q正交性幅相誤差估計(jì)精度很高，在3 dB左右信噪比時(shí)，鏡像抑制度達(dá)到了60 dB。本文對(duì)apFFT的應(yīng)用有一定的啟示，下一步將側(cè)重研究在工程中的應(yīng)用。