范希爾理論在幾何中的應用分析

(成都理工大學 四川 成都 610059)

一、緒論

范希爾理論是重視學生的幾何思維習慣的一種幾何教學理論，探討其在幾何教學中的應用將有助于解決幾何教學中“教”與“學”不同步難題，學生對幾何的了解、學習能力將得到進一步提高。本論文在網絡調查及理解相關范希爾理論研究現狀的基礎上，發現幾何教學中范希爾的應用產生的問題，主要通過與SOLO理論相比較，對幾何教學中教師教與學生學不同步的難題提出建議，以期提高學生幾何思維水平。

二、范希爾理論研究現狀

1959年前蘇聯學者最先注意到范希爾理論，美國人于10多年后才開始對范希爾理論有了進一步了解。而到1974年前蘇聯的幾何教學就已經有了“驚人進展”，完成了幾何教學的一個重大突破。學者弗賴登塔爾也提出了思維水平在數學歸納法學習中的模型，他發現幾何思維水平在某種程度也可衍生出數學歸納。

上世紀八十年代，全球學者開始普遍關注范希爾理論。我國對范希爾理論的關注開始的比較晚，對范希爾理論開始進行系列研究已經是八十年代后期，目前在中學幾何教學中也應用得較少，國外對范希爾理論的研究應用已經相對成熟。

三、范希爾理論

現今世界各地，數學教學依然普遍面對一個教學難題——幾何教學。在當時的荷蘭，中學數學教師范希爾夫婦也同樣面臨著這個教學難題,他們在課本中發現的問題和課后作業所要用到的幾何語言、幾何專業知識遠超學生現有幾何思維水平。因而范希爾夫婦對皮亞杰理論進行了大量研究，由此產生了五個水平的幾何思維分類，于1957年在烏特勒克大學發表。

幾何思維的五個水平(五水平)即為范希爾理論的核心內容，且與之相對應五個教學階段(五階段)[2]。通過三角形的相關分析進一步闡釋幾何思維的五個水平(五水平)，分別是視覺、分析、非形式化的演繹、形式的演繹、嚴密性。

到了20世紀八十年代,范希爾夫婦在大量的研究和實踐基礎上又把原有的五水平合并為三個水平,即:直觀水平、描述水平、理論水平。不同層次的思維水平對應著學生在幾何思維上的遞進發展。按照美國學者克勞雷對范希爾理論的研究分析，我們發現范希爾幾何五水平有次序性、進階性、內穩性及外顯性、語言性和不適配性幾個特點。

四、范希爾理論與SOLO理論的比較

SOLO分類法定義的是人們在學習新知過程中可觀察到的表現出來的思維階段,即一種可以觀察到的學習結果結構。“結構主義學說”和“皮亞杰認知發展階段理論“”則是SOLO理論的基礎,要求學生在以下兩個方面做出反饋[5]。一是根據定義的五個模式描述與之相對應的思維模式類型；二是利用水平的劃分對新舊模式進行定性分析。SOLO分類法把抽象程度和題目上的復雜程度分為五個結構[6]。

范希爾理論與SOLO理論都是學生幾何思維評價的一種方式、一種幾何教學的框架，在各級幾何水平學生反饋的指標有相似之處。而SOLO水平側重學生學習結果，而范希爾理論的目標是學生幾何思維、幾何能力的變化[7]。一切學科的分析都可以使用SOLO理論，但范希爾理論僅僅適用于對幾何課程的分析[8]。而且SOLO體系注重學生學習層次上的層次化過渡過程，范希爾理論的著重點是對學習層次的一種教學設計變化[8]。

五、范希爾理論在幾何中的應用

通過結合范希爾理論來具體分析幾何五水平，探索其具備的雙重意義發現：它們不僅可對學生的幾何水平能力進行系列判斷，還可以應用于不同幾何的教學目標的設計上。因而，教師在幾何教學中的教授可以是多方面的，不僅包羅幾何的基礎知識、定理等的了解，還可著重于生活中發現的幾何的具體應用等。迄今，世界各國的數學幾何課程設計都對范希爾理論進行了部分借鑒與應用，例如德、美、法、意大利等，最早應用的是蘇聯。主要應用于課程設計和不同版本的教材比較研究。

每個幾何思維水平上的教學任務與學生活動側重點有所不同，不同的幾何思維水平階段也有著不同的描述和分析，這些都使得范希爾理論被廣泛的作為幾何教學設計的一個參考理論框架。對應的水平測試完成后，教師根據具體的對幾何教學單元和幾何教學內容，結合范希爾理論進行新的教學設計，這樣就可以對學生因“幾何思維水平”施教，提高學生的幾何學習能力。

六、結束語

已有的研究發現，盡管學生的幾何思維水平情況、評估教材內容的幾何思維水平分布等我們都可以通過范希爾理論來進行準確測量，但測試結果出來以后我們需要怎樣改進教學方式，提高我們的幾何教學效率？在分析學生的幾何思維發展情況、評估課本內容所處的幾何思維水平，范希爾理論的運用大多都是比較各版本教材的某一內容方向，我們還缺少很多系統性的了解等等問題，都需我們進行更深層次的探索。

而我國在此的研究應用現狀則需我們更全面的了解范希爾理論，并將之應用于我國的幾何教學課程安排、設計，課程編制等等環節。使幾何教學中的“教”與“學”同步，提高學生的幾何思維水平能力。