電橋電路的拓撲結構及計算電阻的2種方法

(南通大學物理系,江蘇 南通 226019)

圖1 電阻網絡圖

在實際問題中電阻網絡模型的結構復雜多變, 如何將電阻網絡進行簡化是更好地解決電阻網絡等效電阻問題的關鍵. 本文受文獻[1-8]研究成果的啟發, 擬研究一種電橋電阻網絡的多種變換結構及其等效電阻的不同求法. 本文選用圖1所示的電阻網絡開展研究, 該電阻網絡是一個內含交叉(不連結)電阻的一種電阻網絡, 該電路中含5個不同的電阻元素, 由于電阻的非對稱性因而計算其等效電阻時顯得比較復雜.

1 電橋電路的拓撲變換

能否將圖1結構變換成為常見的通俗易懂的電路結構?我們給出了圖1的2種拓撲變換, 即在研究電橋電路時連續改變電路形狀, 其基本電學性質還能保持不變的變換. 研究發現圖1所示的電路結構可以拓撲變換成為如圖2和圖3所示的電阻網絡. 其中圖2屬于一種常見的非平衡電橋電路, 而圖3屬于一種三角形cobweb模型.[1,7]

識別圖1-圖3所示3種電阻網絡等價的方法:我們采用各節點間連接的電阻來判斷, 在3個電路中, 與A節點相連的電阻有r,r0,r2;與B節點相連的電阻有r,r0,r1;與E節點相連的電阻有r,r1,R0;與F節點相連接的電阻有r,r2,R0, 對比可以得出3個電阻網絡完全等價. 顯然在圖2所示電路中連線A-E-B-F構成一電橋, 其中r,r1,r,r2為4個橋臂電阻,R0為橋電阻. 由于該電路結構特殊, 各個元件之間的連接并非簡單的串并聯關系, 但是當電橋平衡時, 即當r:r1=r2:r時, 稱圖2所示電路為平衡橋電路. 此時可以將橋電阻作斷路等效處理, 則該電路的等效電阻為

(1)

其中利用了r1r2=r2.當電橋不平衡時,無法用簡單的串并聯電路分析、求解.由此本文選用兩種一般性解法來研究非平衡電橋電路等效電阻.

2 應用基爾霍夫方程組計算等效電阻

圖4 含有電流參數的二端電路網絡模型

接下來我們基于圖1應用基爾霍夫定律建立方程組來計算A和B兩節點之間的等效電阻RAB.假設在節點A輸入恒定的電流并且讓電流在節點B輸出, 同時定義其他分支電流, 如圖4所示:I1為流過上邊界r的電流;I2為流過R0的電流;I3為流過r0的電流;I4為流過下邊界r的電流;I5為流過r2的電流;I6為流過r1的電流.

對圖4電阻網絡運用基爾霍夫定律得到回路電壓方程

I1r+I6r1-I3r0=0,

(2)

I5r2+I4r-I3r0=0,

(3)

I1r+I2R0-I5r2=0.

(4)

對圖4電阻網絡運用基爾霍夫定律得到回路電流方程

I5=I-I1-I3,

(5)

I4=I2+I5,

(6)

I6=I1-I2.

(7)

解以上諸多方程得到一個關于I3與I的關系式

(8)

其中

(9)

方程(9)就是我們要尋找的非平衡電橋等效電阻的計算公式. 將(9)式變形得到

(10)

可以看出, 當

(11)

時,方程(10)可簡化為

(12)

(13)

將(13)式代入(12)式即得到結論(1), 顯然, 當r1r2=r2時, 等效電阻RAB與R0無關.

3 運用Δ-Y等效變換求解等效電阻

圖5 Δ-Y等效變換后的電阻網絡

下面擬基于圖2電路經拓撲變換后計算A和B兩節點之間的等效電阻. 接下來我們將運用Δ-Y等效變換法[3]將圖2中的三角形AEF電路拓撲變換成為電阻分別為RA,RE,RF的星(Y)型電路網絡.這種變換能夠保持原有電路的基本屬性. 由此我們將圖2所示電阻網絡轉換為如圖5所示的電路來求解電阻網絡的等效電阻.

利用Δ-Y等效變換公式, 可得

(14)

(15)

(16)

則圖5上半部分(A→B)兩點間的等效電阻為

(17)

最后由并聯電路電阻計算公式可以得到電路的等效電阻

(18)

由于本文的計算過程是精確和嚴密的, 因而由公式(18)得出的等效電阻必然等價于圖1所示電阻網絡得到的等效電阻(9). 下面給出一個簡單驗證.

不妨設各個電阻的阻值分別為r=1 Ω,r1=2 Ω,r2=3 Ω,R0=4 Ω,r0=5 Ω, 則將各數據代入方法1中的a、b表達式, 計算得到

(19)

將各數據代入方法2中的方程(14)～(17), 求得

(20)

(21)

顯然2種不同的思維思路所采用的不同計算方法而得到的結果完全相同. 這也證明了物理學的不同規律和方法是完全自洽的和能夠相互驗證的.

4 小結

方法1依據圖1結構采用基爾霍夫定律求出等效電阻, 方法2依據圖2結構采用Δ-Y等效變換求出等效電阻, 盡管2種結果的表達式完全不同, 但卻是等價的.