側面俯視時盛滿水的碗中斜插筷子的虛像位置研究

(南京曉莊學院電子工程學院,江蘇 南京 211171)

圖1 側面俯視時盛滿水的碗中筷子的虛像

眾所周知,從側面俯視盛滿水的碗中的斜插筷子時,會看到水中的筷子自水面處向上偏折,且視角(目光與水面法線即豎直方向的夾角)越大偏折越厲害,見圖1.設筷子本身與水平方向的夾角為30°,碗里的筷子部分在水平方向的投影長度為8cm.但卻少有人知道筷子虛像的準確位置以及虛像仍然呈現直線段形狀的根本原因,更少有人知道筷子的虛像實際上還會向觀察者這邊偏折.本文將利用已有的光學知識計算出水中筷子虛像的準確位置,并運用MATLAB軟件作出虛像的三維圖像并加以分析.

圖2 來自水中物點的光線的折射

圖2顯示的是來自水下h深度的物點S的某條光線l,其入射角為i,折射角即人眼視角為r,像點S′就在折射光線的反向延長線上,且在物點S的右上方.[1]姚啟鈞《光學教程》(第4版)[2]給出像點S′的坐標如下

x=h(n2-1)tan3i，

(1)

(2)

其中水的折射率n=4/3.由于這里的物點S來自圖1中水面以下的筷子,因此可將物點的深度h表示成

(3)

將式(3)分別代入式(1)、(2)并考慮到n=4/3后,即得像點S′的空間軌跡方程

(4)

(5)

設視角r=30°和60°,則由折射定律sini=sinr/n可算出i=22.0°和40.5°,繼而得到tani=0.405和0.854.將tani值代入式(4)、(5)便得在這兩個視角下筷子虛像的位置

當r=30°時，

x=0.030y,z=-0.353y，

當r=60°時，

x=0.280y,z=-0.123y，

其中y∈[0,8] cm.

運用MATLAB軟件可作出水中筷子實物及其虛像的三維圖像,見圖3和圖4.當然,我們實際看到的只有虛像.從圖中可見,或更精確地從上面式子算得,在30°和60°視角下筷子的虛像與右邊“網格墻”的交點坐標分別為(0.24,8,-2.82)和(2.24,8,-0.98),而筷子實物與右邊“網格墻”的交點坐標則是(0,8,-4.62).顯然60°視角下筷子的

圖3 碗內水中的筷子實物與其在30°視角下的虛像

圖4 碗內水中的筷子實物與其在60°視角下的虛像

虛像相對于實物要向上(z軸正方向)、向外(x軸正方向)偏折許多.不過,由于我們看到的碗底也是虛像,它和筷子端的虛像同步移動,以及我們從側面觀察的視覺緣故,我們雖然能明顯地看到筷子向上偏折,卻不易看到筷子向我們眼睛這邊偏折.除非你把筷子換成標有刻度及文字的尺子,并用近視的裸眼去仔細觀察.

需要說明的是,虛像的位置是隨視角變化的,30°視角和60°視角下筷子虛像的位置是不同的,因此這兩個虛像宜分圖畫出,如圖3和圖4,代表著兩個不同的視角.事實上,筆者在作圖3、4時已考慮了此視角因素.另外,嚴格地講,本文計算的實際是筷子的子午虛像．[2,3]若將圖3、4中筷子的子午虛像(虛線)沿著目光的方向向O-yz平面投影,即得筷子的另一理論虛像——弧矢虛像．顯然這兩個虛像總是重疊在一起的,我們的目光只能聚焦于前面的子午虛像,永遠無法透視看到后面筷子的弧矢像,因此這里用筷子的子午虛像作為筷子虛像是準確的.