自行車穩定前進時的某種表觀幾何現象

(上海市位育中學，上海 200231)

1 引言

兩輪自行車一直被認為是一個很神奇的東西,依靠與地面的兩點接觸,竟然可以穩定運行而不倒下,同時具有比三輪或者四輪更大的靈活性．對它的平衡原理有過很多研究,這里不再贅述．筆者在使用自行車時,遇到一次龍頭突然卡住的情況,幾乎立即摔倒,由此思考:如果有平衡狀態,龍頭不動也應當有可能穩定運行一段時間,但事實上是沒有人騎車時能做到,那么會不會自行車的騎行是一個長期穩態而非平衡態呢?

2 問題

只有兩點接觸地面時,除理想狀態外根本不會有平衡,現實中也會發現騎車時,即使直線前進車身也不可能一直保持豎直,而多多少少都有左右擺動,如圖1,沙灘上的軌跡清楚地證明了這一點．為什么騎車時要不斷地微微轉動龍頭而引起車身的擺動呢?而且看起來這種擺動還具有一定的節奏性,比如與蹬車的周期相同．由于提出的是一種基本設想,這里將對模型盡量簡化．

圖1

3 圓周運動和前輪微擺模型

圖1可見自行車是不斷地左右微拐彎前進的,那么必須建立拐彎時的圓周運動模型．圖2(甲)從側面將車架簡化為連接兩輪(虛線圓圈)圓心的長為d的剛性倒T形架,而人和車的總質心G固定在車架中央上方,距離地面為h．輪子與地面的接觸點為P1、P2,距離也恰好是d,P為這兩個接觸點的中點,且假定車是從P2向P1方向前進的,這種模型只能側倒．當正常微左轉時,從正后方看過去如圖2(乙),設定P點為整體的等效支點,模型被進一步簡化為一個重球支在一根輕桿上,此時向左偏離豎直線α角,由于該角很小,質心離地高度仍近似為h,而δP為此時質心相對于P在水平方向的偏離量．當采用P的圓周運動作為參考系研究時,質心受力如圖(地面作用力未畫出),其中F為慣性力,在該參考系中不倒即關于支點P力矩平衡及幾何關系得

(1)．

圖2

圖3

圖4

主導車行進方向的是前輪,圖3是實拍穩定運行時自行車前輪向左和向右微擺動的瞬間(因車有故障而不是很對稱),說明前輪與車身的夾角確實存在,幾何關系則需從俯視圖建立左轉模型如圖4,虛線窄長方框為兩輪,前輪向左微擺,將其與車架所成角度θ稱為擺角,假定為固定轉彎過程,則車身上各點的軌跡應共用相同的圓心O,相當于一個三角板OP1P2在繞O點轉,由兩輪運動方向平行于輪本身,可知兩個地面接觸點的運動半徑OP1和OP2的夾角也是θ,且θ角很小時可近似認為

(2)

將車速v近似看作P點圓周運動的線速度,其半徑為r,則前面的慣性力即為

F=mv2/r.

(3)

4 支點移動模型

自行車穩定前進時為什么要微轉彎呢?

用一根長而輕的桿頂著一個重球長時間不倒下是可以做到的,比如雜技頂桿,秘訣就在于支點的移動,也就是當重物有些向左偏倒時,快速地向左移動支點,在偏得更加嚴重之前,支點已經到了重物左下方的位置,那么此時桿對球的作用力沿桿朝右上方,會阻止重物的繼續左移而促使重物向右偏倒,于是再將支點快速右移以阻止右偏的發展,以此類推,讓重物在不斷地左偏右偏中維持了一個相對的穩定而沒有倒下.這里僅從地面參考系說明支點左右移的目的,所以不再出現慣性力的考慮．而此情景正是圖2(乙)視角所看到的自行車身的簡化運動,所以自行車的穩定亦來自支點(等效)的移動,而且這種移動絕對不是打滑,而是在移動中需要怎樣的作用力,地面能就給予怎樣的力,就像頂桿時用手控制桿子的底端一樣,此即支點具有合理加速度的原因．

圖5

自行車與地面的接觸點(相當于頂桿中的支點)不能平白無故地側移,否則就是打滑,因此這種支點的左右移動便由轉彎來實現．現在把車輪略去,俯視圖進一步簡化為圖5,虛線曲線PP′P″為大致的P點軌跡,那么前進方向基本為AB箭頭方向,在一段時間內,假定前輪保持著θ擺角(其實這個過程中擺角是變化的,為了簡化計算認定θ不變)使等效支點P移動到P′處,半徑OP轉過角度φ,且恰使圖2(乙)中P點偏離質心從最右到最左,故有P點的側移量為2δP,滿足2δP=r(1-cosφ)=2rsin2(φ/2)．而當θ角很小時,φ也很小,近似有sin(φ/2) ≈φ/2,故2δP≈2r(φ/2)2=rφ2/2．

同時,把左右腳各蹬一下認為是穩定騎車時的周期T,也就是車身擺動周期,不難理解P到P′的過程就是T/2,則有φ=vT/2r,即T/2經過的弧長除以半徑,代入上式消去φ有

(4)

回到前面,由(1)、(3)、(4)式消去δP可得

(5)

取h=1 m得到T=1.278 s,是個合理的蹬車周期(真實過程中θ會變小,轉彎效果削弱,完成2δP需要更長的時間,而恰好真實的舒適周期在1.5～2 s),合適的慣性力體現圓周運動的穩定性,因此可把(5)式看動力學方面人感覺較穩定的質心高度和蹬車周期的關系式．所以加速時(即減小T),往往采取更低重心的姿勢(即減小h)會更舒服．

換一個思路,由(2)、(4)式消保留δP消去r得

(6)

將(5)式代入有

(7)

取h=1 m,d=1.2 m,v=5 m/s,δP=0.04 m這些現實中比較合理的數據,得到θ≈1.08°,這個夾角計算值符合實際情況,在很穩地騎車時,前輪與車身的夾角極值就是兩度左右．圖3的左右偏角加權平均較大是因為單手騎車且龍頭不靈活,所以不是很穩．

是否能根據(6)、(7)式判定,車速越快時對應的θ一定越小呢?其實車速與周期成反比,可以令v=k/T,k為廠家設定的系數,則(6)式成為

(8)

上面數據對應系數k=6.39．(7)、(8)兩式表面存在矛盾,一個與車速有關而另一個無關,但仔細思考(7)式的來源(5)式,表征的是圓周運動,在起步階段,車速過慢,車身不倒很大程度上取決于圓周運動的穩定,所以(7)式起到決定性作用,因此確實一開始的前輪擺角是很大的.這也是個不太穩定的過程,近似也不能很好地成立,所以這里并未過多研究．

正常騎行時速度足夠且軌跡較直,圓周運動不太明顯,而支點移動的硬性標準指向(8)式,且各種近似得到很好地滿足,所以如果δP比較恒定時,騎得稍快或稍慢一些前輪的擺角是差不多的.且根據前面的論述,車速稍大時通常會稍微降低重心,減小h,所以(7)式也能指向擺角變化不大的結論,并不與(8)式矛盾．

當騎得很快時,又會發現前輪擺角θ是個更加小的值,幾乎與車身一起動,而且感覺挺穩,想摔倒都不可能,但這時的蹬車周期T變得比正常小不少,會與(5)式偏差太多，因為h不可能大幅度減小,怎么理解這樣的穩定呢?事實上在蹬車周期太小(比如小于1 s)時,會發現車身的擺動周期自然地變成蹬車周期的兩倍(2 s左右),即擺到左邊蹬兩腳,擺到右邊再蹬兩腳,不再是一邊各蹬一腳,而我們要用來推導(4)-(6)式的正是車身擺動周期,2 s左右的周期與(5)式相差不大,而最后(8)式中相當于k變為原來2倍,即分母會乘以4,側移量δP雖然也變大但沒有大到4倍,結果是車身擺動幅度變大、節奏變慢,但前輪擺角卻更小．這種情況不作過多展開．

以上推斷均有實際經驗和事實,定速車在騎得很快時擺到一邊只蹬一腳會導致車身很劇烈的晃動,要摒除這種不穩定性但又不想一邊蹬兩腳的話,就得使用變速自行車,通過k的調節形成高速下仍有合適的蹬車周期,等于(5)式中的車身擺動周期．

5 其他分析

(1) 為什么在溜車(不蹬)時沒有太多的前輪擺動節奏感?因為溜車時不存在蹬車周期,整體質心相對于等效支點的偏離很隨機,所以人會隨機地用龍頭帶動前輪擺動,其感覺不如騎車穩定．同理自行車慢速比賽時也存在類似的問題,人和車因擾動而導致的質心與支點的偏離總會存在,但前進速度很慢時,想及時有效地側向移動支點變得更加困難,所以很容易摔倒．

(2) 為什么成人騎童車會感覺不好?童車不是小輪自行車,騎童車的成人比正常情況重心更接近地面,倒下得更快,且廠家設定童車有較小的車速周期比k,導致成人不得不更迅速地蹬車,同時根據(8)式,雖然其車架d也較小,但仍可能導致需要更大的θ角,結果就是更快的擺動及更大的擺角,加上伸不開腿,所以缺乏習慣中的穩定感,當然,兒童是很習慣快速蹬車的．因此不論車輪大小,成人騎車較舒適時總有一個合適的座位高度及變速比(對應k、T)．

6 深層研究

(1) 人體感官:如何形成質心的節奏性偏離等效支點?見圖3,如果是很輕松正常地騎車,我們會發現通常抬左膝時,會自然地控制龍頭帶動前輪向左擺動,這個動作的起始階段可以體會到人身體重心的左移．同時此動作右手前伸,與走路出左腳伸右手的平衡相統一,從自然規律上減少了人的不穩定性．再結合圖1可知,支點相對質心水平位置的偏離及其變化一大部分是來自于車身的擺動,進一步降低了人體的擺動感．如果將這個動作反過來,硬是抬左膝且向右擺龍頭,就是同手同腳的感覺,會加大擺幅,不穩定,但在短時間加速過程可以接受這種用力方式．

(2) 車身研究與因果關系:在舒緩地騎車時,前輪的擺動來自于人體本身的節律性帶動,則車身的側傾及轉彎就是由前輪帶動的結果．但當車速較高時,前輪的擺動似乎并非人手控制,而是車身平面側傾后,帶動前輪擺動,因果關系恰好相反,比如圖6這種危險的空手騎車情況,如何理解這種擺動機制?

圖6

圖7

仔細觀察當今絕大多數自行車前叉都是向前下方控制前輪,不是豎直向下,這個設計在車身平面傾斜時,會對前輪產生一定的力矩效果．如圖7(甲)所示,車輪半徑為R,EF代表前叉,車身豎直時它與豎直線夾角為γ,而圖7(乙)是從車正后方看過去的視角,車身平面偏離豎直面α夾角,這時若以EF為轉軸,沿前叉從F向E看過去,地面的支持力N將產生逆時針力矩(立體關系此處未畫出),滿足(用N垂直于輪平面的分量乘以關于轉軸EF的力臂)

MN=NsinαRsinγ.

(9)

現實中自行車停放時車身向左傾,這個力矩會立即使前輪左擺,正好符合前面左轉彎模型的要求,即車本體結構也可以貢獻出正確的前輪微擺動效果．輪子的重力及前叉的作用力對EF軸無力臂,而此時是前輪剛偏,車的圓周運動不明顯,所以也忽略了地面給予摩擦力的側向分量．所以前叉設計天然地符合了前輪微擺的方向性要求,同時增大跨度,提高了車身前后方向的穩定性,并可以容納更大的前輪,方便提高車速,可謂一舉多得．

N作為地面的支持力其實僅與人、車的重量有關,可認為與廠家設計的γ一樣是定值．單獨看R越大時,一般可以使(9)式的力矩增大．其實這個力矩本身很小,但是考慮到θ和周期的量級,只需讓前輪帶龍頭有很小的角加速度就可以了,所以還是合理的．但是更需要應對的是地面和龍頭軸等方面產生的阻力,如果這個阻力很大,那么我們需要更大的車身傾角α來提高力矩效果,這就很容易摔倒了;如果這個阻力是定值,那么對于小半徑的輪子也是需要更大的車身傾斜度來達成足夠的力矩,以促成前輪的擺動,所以騎小輪車不用手扶也是容易摔倒,而且小輪車的前輪受龍頭慣性的制約程度較高,更容易出現前輪擺到一邊就擺不回來的情況,所以騎小輪車的人很少是雙手放空的．當然輪的尺寸很大時,根據人體有限的尺度,順利擺動車身將變得很困難,所以也是不利于空手騎的．

7 角動量相關的研究

圖8

我們不妨多研究一下車輪角動量受力矩影響的效果．將圖7(甲)的前叉簡化為完全豎直,此時車身(車輪平面)再怎么傾斜支持力都不會產生關于軸EF的力矩,不用手扶是否就無法使前輪以左轉替代倒下了?在圖7(乙)中選取過E點且垂直于紙面的轉軸,N產生了一個向紙面外的力矩MN′=NRsinα,而此時前輪的角動量L0為向左略偏下,從FE看過去簡化俯視如圖8,該力矩將促使L0轉向,導致前輪左轉．現在略去龍頭等其他結構,假定只有前輪,在恰當的周期T下,圖8所示從中線左擺到最大的θ角 時間為T/4,則MN′T/4=ΔL0;小角度近似下ΔL0≈L0θ,輪子的質量m0集中在邊緣均勻分布時有L0=m0vR,綜合可得v=NTsinα/(4m0θ),再根據v=k/T和(10)式,可得

(10)

保守假設k=6.39,h=1 m,δP=0.04 m(其實因為不穩可能更大),θ=2°(已經夠大),N=250 N(龍頭阻力相當于削弱轉向效果,故簡單等效為取偏小的N),m0=2.5 kg,空手下形成恰當擺動且不倒需要的車速為v=13.53 m/s,與現實相差甚遠,所以不大可能有人放空前輪騎豎直前叉的自行車,當然現在也基本找不到這樣的自行車．注意,這個模型跟一個輪子或一個硬幣自己滾動是有區別的,比如地面支持力不隨輪大小而改變(主要取決于人和車身的重力)．如果是一個輪子自己滾動,那么(10)式中N=m0g會消掉分母的m0項,但這種情況下,T、h、θ、R等參量之間的關系也不再是自行車機制,(10)式也就不成立了,更深入精確地判斷有待廣大同仁進一步研究．

8 辯證與結論

輪子的大小和質量會影響角動量大小,有很大輪子的古董自行車和很小輪子的現代折疊車都可以穩定騎行,甚至沒有輪子的雪地自行車也可以穩定滑行,所以用角動量相關的因素去解釋穩定性就過于牽強了．圓周運動只是研究穩定因素的手段,我們可以假設在一艘慢速運動的航母上(相當于傳送帶)騎自行車,相對速度與航母速度大小相同,且方向相反,而那么從地面參考系看來自行車是不前進的,不存在轉彎方面的圓周運動,但仍能穩定騎．不倒的實質應具有普遍性,如雜技中的頂桿運動,或者單腳冰刀前進等,都是利用支點的及時有效的移動來實現穩定,這就是為什么騎自行車無法以0的速度在路面上不倒,但卻可以穩定在鋼絲上,因為鋼絲是可以隨著人體左右擺動的,進而支點隨之移動．如果以存在加速度的支點為參考系,人的感官平衡從力學上講就是慣性力與重力的力矩平衡,所以不管有沒有自行車前進中的圓周運動,都可以分析慣性力．這里的前輪微擺模型主要分析了等效支點的位置變化和蹬車周期等物理量之間的關系,得到了相對合理的前輪微擺偏向角θ的關系式并在現實中加以驗證,說明了支點移動維穩模型的正確性和普遍性,也算是從某個方面展現了自行車穩定前進的一種機制．