函數極限的求法探討
2010-12-31 00:00:00宋顥
現代商貿工業 2010年12期
摘 要:求函數極限的方法很復雜也有很多，在這里簡要的介紹了以下十種常用方法:(1)兩邊夾法則;(2)兩邊夾法則的推廣形式;(3)洛必達法則;(4)通過等式變形化為已知極限;(5)級數法;(6)用等價無窮小替換;(7)自然對數法;(8)利用積分中值定理;(9)因式分解法;(10)用變量替換。
關鍵詞:極限;求函數極限的方法
中圖分類號:OI
文獻標識碼:A
文章編號:1672-3198(2010)12-0360-01
極限論是數學分析的基礎，它貫穿著整個數學分析，極限問題也是數學分析中的困難問題之一。求函數(數列)的極限方法有很多也很復雜，對于一些根據基本定義性質直接求極限問題(如:根據定義求極限，函數和差積商的極限運算法則，利用函數連續性求函數極限等等)就不多作說明了，在這里簡單概括一些我們常用的求函數極限的方法。
1 兩邊夾法則
要點 當極限不宜直接求出時，可考慮將求極限的變量，作適當的放大和縮小，得到易于求極限且極限相等的兩個新變量，則原極限存在，且等于此公共值。
例1 求limx→0x1x([a]表示不大于a的最大的整數)。
解:由于1x-1<1x≤1x(x≠0)
則有當x>0時，1-x<x1x≤1，當x<0時，1-x>x1x≥1，
故limx→0x1x=1。
2 兩邊夾法則的推廣形式
要點 當使用兩邊夾法則時，若放大與縮小所得變量的極限值不相等，但兩者只相差一個任意小量，則兩邊夾法則任然有效。
例2 設f(x)>0，在[0，1]上連續，試證limn→∞n∑ni=1finn1n=max0≤x≤1f(x)。
證:令M=max0≤x≤1f(x)，則xn=n∑ni=1finn1n≤M(1)
因為f(x)在[0，1]上連續，根據閉區間連續函數的性質，x0∈[0，1]，s.t.f(x0)=M.
于是ε>0，δ>0當|x-x0|<δ，x∈[0，1]時，有M-ε 當n充分大時有1n<δ(即分點in的間距小于δ)，i0，s.t.i0n-x0<δ，fi0n>M-ε. 故xn=n∑ni-1finn1n≥nfinn1n>(M-ε)1nN(2) 由(1)(2)，有(M-ε)1nn≤xn≤M. 左端極限為M-ε，右端極限為M，由ε>0的任意性，知limn→∞xn=M。 3 洛必達法則 要點 (00待定型)若limx→x0f(x)=0，limx→x0g(x)=0，f(x)，g(x)在x0的去心鄰域Uo(x0)內可導，且g′(x)≠0，limx→x0f′(x)g′(x)=A，則limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A。 (∞∞待定型)若limx→x0f(x)=∞，limx→x0g(x)=∞f，(x)，g(x)在x0的去心鄰域Uo(x0)內可導，且g′(x)≠0，limx→x0f′(x)g′(x)=A，則limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A。 注意:0#8226;∞，∞-∞，00，1∞，∞0等待定型都可化為00或∞∞型，所以也可以用洛比達法則求值。 例3求limx→0exsinx-x(1+x)x3。 解:limx→0exsinx-x(1+x)x3=limx→0exsin+excosx-2x-13x2 =limx→0exsinx+2excosx-exsinx-26x =limx→0excosx-13x=limx→0excosx-exsinx3=13。 4 通過等式變形化為已知極限 要點 當極限不宜直接求出時，可考慮將求極限的變量作適當的等式變形，得到已知極限的新變量。 例4 求limx→+∞x+x+xx+1。 解:limx→+∞x+x+xx+1=limx→+∞1x+1x3+1x51+1x=0。 5 級數法 要點 級數法一般是利用麥克勞林級數f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f″(0)2!x2+…+Rn(x)將函數展開，取有效部分求極限。 例5 求limx→+∞6x6+x5-6x6-x5 解:原式limx→+∞x(1+1x)16-(1-1x)16 =limx→+∞1+16x+o1x2-1-16x+o1x2=13。 6 用等價無窮小替換 要點 在求當時函數極限時，常用以下等價無窮小進 行等價替換: sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，ex-1~x，ln(1+x)~x，1-cosx~x22，ax-1~xlna，n1+x-1~xn，(1+x)α-1~αx等。 例6 求limx→0arctanxln(1+sinx)。 解:limx→0arctanxln(1+sinx)=limx→0xsinx=1。 7 自然對數法 要點 對于冪指函數y=u(x)v(x)的極限在多數情況下都不能單純的利用常規方法求解，這時可采用對數法對函數取自然對數，再求極限。 例7 求limx→0+(cosx)1lnx。 解:令y=(cotx)1lnx，則lny=ln cotxlnx， limx→0+ln cotxlnx=limx→0+tanx#8226;(-csc2x)1x=-1， 因此limx→0+(cotx)1lnx=e-1。 8 利用積分中值定理 要點 一般根據積分第一中值定理:若f(x)在[a，b]上連續，則ξ∈[a，b]，s.t.∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)。將某些含有積分的變量化為一般形式再求極限。 例8 求limε→0+∫101εx3+1dx 解:由積分中值定理∫101εx3+1dx=1εα3+1(0<α<1)， limε→0+∫101εx3+1dx=limε→0+1εα3+1=1。 9 因式分解法 要點 如果可以通過因式分解將變量化簡或轉化為已知的極限，即可利用此方法求變量極限。 例9 求limx→π24sin2x-3sinx-1sin2x-3sinx+2。 解:limx→π24sin2x-3sinx-1sin2x-3sinx+2=limx→π2(4sinx+1)(sinx-1)(sinx-2)(sinx-1)=limx→π24sinx+1sinx-2=4+11-2=-5。 10 用變量替換 要點 為了將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可根據極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉化為新的極限過程。 例10 求limn→∞ne-(1+1n)n。 解:令x=1n，則limn→∞ne-(1+1n)n=limx→01xe-(1+x)1x=limx→0e-eln(1+x)xx =limx→0e-ee-x22+o(x2)xx=elimx→01-e-x2+o(x2)x =elimx→01-[1-x2+o(x)]x=e2。 極限問題是一個極為復雜的問題，在這里也僅僅是將十種常用的方法簡要的說明和舉例，還有更多的方法有待我們尋求、探討。 參考文獻 [1]復旦大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社，1978.
