基于GUI類氫離子中電子概率密度的可視化設計

李 軒 袁 琦 高志華，2

(東北師范大學 1物理學院, 2物理學國家級實驗教學示范中心，吉林 長春 130024)

量子力學作為四大力學之一，在物理類本科學習階段非常重要。但因其涉及的諸多物理問題與經典理論相差較大，相關理論的推導過程亦較為繁雜，故量子力學對于初學者來說接受起來往往較為困難。隨著現代化教學手段的發展，基于Matlab等一些軟件平臺對一些物理問題進行可視化模擬被得到廣泛研究[1-5]。本文利用Matlab軟件中的GUI功能對氫原子或類氫離子中電子的概率密度分布問題進行可視化設計，利用該程序輸入核電荷數、主量子數、角量子數和磁量子數等就可以直接得到相應的概率密度分布圖像，方便快捷。

1 類氫離子中電子的概率密度

類氫離子中電子的定態波函數為

ψn lm(r，θ，φ)=Rn l(r)Yl m(θ，φ)

(1)

其中，Rn l(r)為徑向分布函數；Yl m(θ，φ)為角向分布函數；n、l、m分別是主量子數、角量子數和磁量子數，每一組量子數(n，l，m)對應一組波函數。

類氫離子的徑向分布函數和角向分布函數分別為

利用徑向波函數，可以求得電子在(r，r+dr)球殼中的概率為

(4)

同理，可以求得電子在(θ，φ)方向的立體角dΩ中的概率為

wl m(θ，φ)=|Yl m(θ，φ)|2dΩ

(5)

2 基于GUI類氫離子中電子概率密度的可視化設計

2.1 類氫離子中電子概率密度的徑向角向圖像可視化設計

圖1 類氫離子中電子概率密度分布可視化流程圖

圖1給出基于GUI得到類氫離子中電子概率密度分布的流程圖。由圖可知，概率密度分布界面包括了設置可編輯文本框、單功能按鈕、繪圖等控件屬性及編寫相應的回調函數(call-back)。考慮可編輯文本框輸入的量子數之間必須滿足l=0，1，…，n-1；m=-l，-l+1，…，l；在編寫回調函數時，利用如圖2所示的錯誤對話框以確保所輸入的量子數準確有效。

圖2 錯誤對話框提示

在量子力學教材和一些文獻中，容易找到低階量子態氫原子或類氫離子中電子的概率密度分布圖像。為驗證程序的正確性，下面以氦離子為例，取Z=2，給出部分量子數下的電子概率密度分布圖像。同時考慮角向概率密度分布為三維圖像，利用max函數和text語句得到角向分布的最大概率密度值，如圖3所示。

圖3 氦離子(Z=2)中電子概率密度分布運行圖示(a) n=11，l=10，m=1時,He+中電子概率密度分布圖像；(b) n=11，l=10，m=2時,He+中電子概率密度分布圖像；(c) n=11，l=10，m=3時,He+中電子概率密度分布圖像；(d) n=11，l=10，m=4時,He+中電子概率密度分布圖像；(e) n=11，l=10，m=5時,He+中電子概率密度分布圖像；(f) n=11，l=10，m=6時,He+中電子概率密度分布圖像；(g) n=11，l=10，m=7時,He+中電子概率密度分布圖像；(h) n=11，l=10，m=8時,He+中電子概率密度分布圖像；(i) n=11，l=10，m=9時,He+中電子概率密度分布圖像；(j) n=11，l=10，m=10時,He+中電子概率密度分布圖像

對于高階量子態氫原子或類氫離子中電子的概率密度分布，由于波函數形式非常復雜，所以一般在量子力學教材中很少涉及。通過該可視化軟件可以得到任意一組量子數對應的電子概率密度分布圖像。

圖4所示的氦離子中電子概率密度分布圖像由于核電荷數和量子數大小的增加，圖像變得更為復雜。徑向概率密度分布曲線存在14個極大值和13個節點，主極大距原子核距離較大，同時主極大的相對概率密度較低；角向概率密度分布圖像呈帶有圓盤的雙缽狀，與相關理論相符。

圖4 n=25，l=11，m=9時，He+(Z=2)中電子概率密度分布運行圖示

2.2 主量子數一定時，類氫離子中電子徑向概率密度分布比較的可視化設計

為更好地研究在主量子數n一定時，氫原子或類氫離子中電子徑向概率密度隨角量子數l的分布規律，設計出圖5所示的可視化程序，通過該程序輸入核電荷數和主量子數即可得到不同角量子數下的徑向概率密度分布比較圖像。

圖5 n=3時，氫原子(Z=1)中電子概率密度分布運行圖示

圖5說明在主量子數n已知的情況下，角量子數可取值l=0，1，…，n-1；每條曲線有n-l個峰，n-l-1個節點。特別地，對于l=n-1對應的“圓軌道”，峰對應的橫坐標為r=n2az，此時峰值為曲線的最大值，與已知理論一致，表明該可視化程序是正確的。

3 結語

利用Matlab制作人機交互界面，直接輸入或改變相應參數就可得到所需氫原子或類氫離子中電子概率密度分布圖像，有助于量子力學等課程的多維度教學，為理解高階量子態氫原子或類氫離子中電子概率密度分布提供了一種途徑，對Matlab更好地在物理教學中發揮作用做出有益的嘗試。