基于奈奎斯特定理與曲線擬合的溫度計(jì)算方法

董亞楠，黃正旺，許欽濤

（豫新汽車熱管理科技有限公司，河南 新鄉(xiāng) 453049）

隨著社會(huì)的進(jìn)步，人們對(duì)于空調(diào)溫度控制精度的要求越來越高，而原來空調(diào)控制器中采用查表的方式進(jìn)行溫度計(jì)算的溫度算法，已經(jīng)不能夠適應(yīng)現(xiàn)在空調(diào)溫度控制器系統(tǒng)的需求。這就要求提供一種新的算法來提高溫度計(jì)算，使其能夠適應(yīng)新的溫度控制的要求。

基于奈奎斯特定理“過采樣和抽取”的方法，可以在不改變?cè)锌刂破饔布娐返幕A(chǔ)上，采用軟件計(jì)算的方式將MCU的AD轉(zhuǎn)換的精度在原有的基礎(chǔ)上提高1～2倍。這樣不僅可以提高空調(diào)溫度控制的精度，而且可以提高對(duì)空調(diào)冷暖風(fēng)門、模式風(fēng)門、新風(fēng)門運(yùn)行角度的精度，提高鼓風(fēng)機(jī)反饋電壓的計(jì)算精度，有利于整個(gè)空調(diào)控制系統(tǒng)控制精度的提高。并且不增加產(chǎn)品成本和不改變空調(diào)控制器原有的硬件設(shè)計(jì)，從而能夠提高產(chǎn)品的市場(chǎng)競(jìng)爭力。

1 基于奈奎斯特定理的“過采樣和抽取”

1.1 奈奎斯特定理的原理

奈奎斯特定理“過采樣和抽取”的原理：設(shè)有一個(gè)頻率帶限信號(hào)x(t)，其頻帶限制在(0，fn)內(nèi)，如果以不小于fs=2fn的采樣速率對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行等間隔采樣，得到時(shí)間離散的采樣信號(hào)x(t)=x(nTs)(其中Ts=1/fs稱為采樣間隔)，則原有信號(hào)x(t)將被所得到的采樣值x(n)完全確定。上述的奈奎斯特采樣定理告訴我們，如果以不低于信號(hào)最高頻率2倍的采樣速率對(duì)帶限信號(hào)進(jìn)行采樣，那么所得到的離散采樣就能準(zhǔn)確地確定原信號(hào)。下面從數(shù)學(xué)的角度來進(jìn)一步證明奈奎斯特采樣定理［1］。

其中x［k］=x(t)|t=Kt，Ω=ωT，連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜為x(jω)，離散序列x［k］頻譜為x(ejΩ)，其計(jì)算公式見公式 (1)、公式(2)、公式 (3)，如圖1所示。

圖1 δT（T）和δωsam（ω）時(shí)序圖

若連續(xù)信號(hào)X(t)的頻譜為X(jΩ)，離散序列X［k］頻譜為X(ejΩ)，且存在x［k］=x(t)|t=Kt，則有：

信號(hào)時(shí)域的離散化導(dǎo)致其頻域的周期變化。其中，T為抽樣間隔，ωsam=2π／T為抽樣角頻率。X(jω)時(shí)序圖如圖2所示。當(dāng)ωsam＞2ωm時(shí)，如圖3所示；當(dāng)ωsam=2ωm時(shí)，如圖4所示；當(dāng)ωsam＜2ωm時(shí)，如圖5所示。

圖2 X（jω）時(shí)序圖

圖3 ωsam＞2ωm時(shí)序圖

圖4 ωsam=2ωm時(shí)序圖

圖5 ωsam＜2ωm時(shí)序圖

通過公式 (1)～(7)和圖2～圖5的計(jì)算和圖示，可以得出：如果以不低于信號(hào)最高頻率2倍的采樣速率對(duì)帶限信號(hào)進(jìn)行采樣，那么所得到的離散采樣就能準(zhǔn)確確定原信號(hào)。

1.2 過采樣和抽取

現(xiàn)在常用的MCU產(chǎn)品中的ADC轉(zhuǎn)換器，轉(zhuǎn)換的ADC數(shù)據(jù)相當(dāng)于一種低通濾波器，而奈奎斯特采樣定理適用于該控制器系統(tǒng)中。根據(jù)奈奎斯特采樣定理，如果以不低于信號(hào)最高頻率2倍的采樣速率對(duì)帶限信號(hào)進(jìn)行采樣，那么所得到的離散采樣就能準(zhǔn)確確定原信號(hào)。在進(jìn)行ADC采樣時(shí)，按照公式 (8)的形式進(jìn)行。其中，fsignal是輸入信號(hào)的最高頻率，fnyquist是采樣奈奎斯特頻率的“過采樣”。

根據(jù)ATMEGA644PA中數(shù)據(jù)手冊(cè)中的說明，在使用其內(nèi)部10位精度的ADC轉(zhuǎn)換器時(shí)，其ADC的時(shí)鐘頻率應(yīng)該在50～200 kHz，之間，本文中使用的系統(tǒng)時(shí)鐘為8 MHz的晶振，因此在進(jìn)行ADC時(shí)鐘設(shè)定時(shí)采用64分頻，將ADC的時(shí)鐘信號(hào)圈定在125 kHz，保證其10位ADC轉(zhuǎn)換值的精確。亦在ADC轉(zhuǎn)換的硬件電路上的AVCC的ADC采樣的基準(zhǔn)電壓輸入端采用LC濾波電路，對(duì)其進(jìn)行濾波處理，并在ADC轉(zhuǎn)換期間，使用MCU的ADC轉(zhuǎn)換休眠模式 (即：定時(shí)器T0、看門狗工作，關(guān)閉其他中斷和I/O的操作，降低轉(zhuǎn)換期間的系統(tǒng)噪聲)［2］。

按照奈奎斯特采樣定理本文需要按照公式 (9)的形式進(jìn)行，ADC轉(zhuǎn)換值的過采樣。

根據(jù)公式 (9)中的采樣頻次，如果要提高1位精度的ADC轉(zhuǎn)換值需要采集4n倍的數(shù)據(jù)來進(jìn)行“過采集”。即：如果將ADC從10位提高至11位其需要過采集的數(shù)據(jù)是10位精度的4倍，將ADC從10位提高至12位其需要過采集的數(shù)據(jù)是10位精度的42=16倍。具體的計(jì)算方法是：如果將ADC10提高至ADC11，需要將4個(gè)ADC10相加，這樣就可以得到12位的ADC數(shù)值，其最后一位沒有實(shí)際意義；需再將其右移一位或者除以2，這樣就可以得到ADC11的數(shù)據(jù)。而將ADC10提高至ADC12，需要將16個(gè)ADC10相加，這樣就可以得到14位的ADC數(shù)值；其最后兩位沒有實(shí)際意義，需再將其右移兩位或者除以4，這樣就可以得到ADC12的數(shù)據(jù)，這樣每一位的電壓分辨率可以達(dá)到1.22 mV。

這樣可以得到公式 (10)用于通過計(jì)算增加ADC的分辨率［3］。

2 曲線擬合的溫度計(jì)算

2.1 基于曲線擬合的溫度計(jì)算

現(xiàn)在空調(diào)控制器系統(tǒng)中一般使用的非線性的NTC型負(fù)溫度系數(shù)的溫度傳感器，其在某溫度下的阻值計(jì)算公式如公式 (11)所示。

式中：RT1——熱敏電阻在T1溫度下的阻值；RT2——熱敏電阻在T2常溫下的標(biāo)稱阻值；B——熱敏電阻的熱敏指數(shù)；T1、T2——開爾文溫度。

由于NTC型負(fù)溫度系數(shù)的溫度傳感器的熱敏指數(shù)在不同的溫度區(qū)間其數(shù)值也會(huì)隨著溫度區(qū)間地上升而加大，溫度區(qū)間地下降而減少的變化，因此NTC型負(fù)溫度系數(shù)的溫度傳感器的R-T曲線為曲值不定的一條曲線段 (如圖6所示，為本文用NTC型熱敏電阻的R-T曲線)，而使用公式 (11)計(jì)算溫度，就需要對(duì)各個(gè)溫度區(qū)間的熱敏系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，而只使用廠家提供的B值就會(huì)出現(xiàn)其溫度曲線在一定溫度下偏差過大的現(xiàn)象 (如圖6所示，其中紅色曲線為正確的R-T曲線，綠色曲線為使用公式 (11)計(jì)算的到的曲線，可以看出在系統(tǒng)溫度低于10℃時(shí)，2條曲線的偏差將逐漸變大)，無法滿足溫度控制精確的需要。

因此，本文為解決以上問題，首先采用的是利用傳感器廠家提供的R-T溫度表格，建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的ADC數(shù)值表，通過和表格內(nèi)的數(shù)值對(duì)應(yīng)，找到ADC值處于那2個(gè)整度溫度之間，然后將相鄰溫度的曲線段看做是一條直線，使用直線段的計(jì)算公式來計(jì)算溫度。但是通過這樣的方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，分段模擬出的直線段不能與溫度傳感器的曲線完全貼合在一起，就會(huì)造成溫度計(jì)算的偏差，而且在曲線曲度越大的溫度區(qū)間內(nèi)的偏差將會(huì)越大，很難達(dá)到精確控制溫度的系統(tǒng)要求［4］。因此，在本文中采用曲線擬合的方法來進(jìn)行溫度計(jì)算。將圖6所示的紅色NTC溫度傳感器的R-T溫度曲線分成數(shù)段，然后使用其他的曲線，并取其他曲線中與目標(biāo)曲線中相符合的部分，利用數(shù)條曲線來模擬出與圖6所示的紅色NTC溫度傳感器相符合的曲線段。

圖6 NTC型熱敏電阻與公式（11）R-T曲線圖

曲線擬合的擬合曲線的公式如公式 (12)所示，其中T為換算出的溫度值，An、An-1、An-2、…、A2、A1、B為根據(jù)不同傳感器阻值的換算常數(shù)，R為NTC傳感器的阻值。

采用公式 (12)的數(shù)列，可以分段將數(shù)列的曲線的部分與目標(biāo)曲線的部分?jǐn)M合在一起。本文中采用的NTC型負(fù)溫度系數(shù)的熱敏電阻的傳感器，參數(shù)為B25/50=3274、R25=5 kΩ。

通過計(jì)算和模擬，在本文中將目標(biāo)曲線分為三段，分別是：T1為-40～0℃、T2為-5～60℃、T3為55～90℃。然后根據(jù)目標(biāo)曲線的各個(gè)R-T溫度表的數(shù)值，計(jì)算的曲線公式如公式(13)～公式 (15)所示。其與目標(biāo)曲線的擬合如圖7所示。

圖7中黃色曲線為公式 (15)的曲線，紅色曲線為公式(14)的曲線，綠色曲線為公式 (13)，圖中的藍(lán)色曲線為目標(biāo)曲線。各個(gè)曲線通過與目標(biāo)曲線的R-T溫度阻值表進(jìn)行計(jì)算其得到的數(shù)值與目標(biāo)曲線相差0.1℃。

圖7 溫度傳感器R-T曲線與公式（13）～公式（15）擬合曲線圖

3 計(jì)算原理試驗(yàn)驗(yàn)證

本文介紹了基于奈奎斯特定理“過采樣和抽取”原理與采用“曲線擬合”方式的溫度計(jì)算方法，在不改變?cè)锌刂破飨到y(tǒng)硬件電路和系統(tǒng)整體成本的基礎(chǔ)上，通過軟件計(jì)算的方法提高了控制器對(duì)于溫度控制的精度，并且該方法還可以應(yīng)用在提高空調(diào)系統(tǒng)。對(duì)于冷暖風(fēng)門、模式風(fēng)門、新風(fēng)風(fēng)門的角度控制精度、蒸發(fā)風(fēng)機(jī)的風(fēng)量調(diào)整方面的精度等，有著巨大的應(yīng)用潛力。

本文使用冷藏機(jī)組用控制器來測(cè)試該溫度方法的準(zhǔn)確性，如圖8所示，通過酒精恒溫槽如圖9對(duì)控制器的溫度顯示進(jìn)行測(cè)試。

圖8 檢測(cè)控制器圖

圖9 低溫恒溫槽圖

通過測(cè)試其測(cè)試數(shù)據(jù)，如表1所示，其溫度偏差為0.1℃，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

表1 恒溫槽測(cè)試對(duì)比 單位：℃

4 結(jié)語

本文基于奈奎斯特定理“過采樣和抽取”原理與采用“曲線擬合”計(jì)算方式，可以精確、有效地提高M(jìn)CU中ADC的轉(zhuǎn)換精度，并使得控制器的溫度計(jì)算精度達(dá)到控制器設(shè)計(jì)需求±0.1℃的精度。其提高ADC轉(zhuǎn)換精度的方法可以應(yīng)用在其他高精度的控制領(lǐng)域中，具有極大的應(yīng)用前景，而“曲線擬合”的計(jì)算可以擴(kuò)展至其他非線性控制領(lǐng)域中，提高整體的控制精度。