雙論域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含關系

胡志勇，米據生，馮濤，姚愛夢

（1. 河北師范大學 數學與信息科學學院, 河北 石家莊 050024; 2. 河北科技大學 理學院, 河北 石家莊 050024）

模糊集概念[1]是由Zadeh教授在1965年提出的。它解決了對不確定性概念的描述性問題，使得模糊數學在理論和應用方面的研究迅速發展起來，并取得了豐富的研究成果。1982年由波蘭數學家Pawlak提出的粗糙集理論一直被認為是處理信息系統和知識發現方面問題的重要工具[2]。在信息系統或者決策表的研究方面，集合近似的定義方式作為一個重要的問題，一直受到研究者的廣泛關注。在單個粒度的粗糙集模型下，一個關系產生的一組上下近似常用來刻畫一個目標概念的特征。然而在實際生活或者應用中，由于用戶需求的不同以及解決問題最終目標的不同，用多個關系來刻畫一個目標概念往往更加貼合實際。基于此，錢宇華等[3-6]提出了多粒度粗糙集模型，使得粗糙集理論在解決實際問題方面的應用更加廣泛[7-9]。在多粒度粗糙集模型中，樂觀多粒度和悲觀多粒度是兩個不同的基本研究方法。

此外，研究對象很可能來自于不同論域，因而，兩個或者多個論域對真實世界的描述更具有一般性，對進一步研究信息表的規則提取具有積極的作用。因此雙論域粗糙集模型[10-12]具有很強的研究價值以及實用價值。

在粗糙集理論[13-15]中，上下近似算子是一對基本的概念，從經典的理論意義和直觀理解上，它們之間存在著包含關系。但是，當把它們推廣到雙論域上多粒度粗糙集模型[16-18]時，集合的上下近似并不一定存在著包含關系。本文將就這一問題展開討論。

1 多粒度模糊粗糙集

實際生活中的數據集大部分都是連續的，然而粗糙集研究的一般是離散型數據，利用模糊粗糙集理論就可以解決這一矛盾。對對象集的劃分一直是粗糙集研究的重要基礎，多粒度粗糙集就是在滿足多個關系的情況下對對象集的劃分，將這些理論推廣到雙論域上，使得理論更具有推廣性。多粒度模糊粗糙集是將模糊粗糙集與多粒度粗糙集兩種理論相結合研究。

定義1[1]論域 U上的模糊集合 X 是由 U上的一個隸屬函數 X:U→[0,1] 來 表示的，其中 X(x)表示元素 x隸屬于模糊集合X 的程度。

定義2[19]設 S=(U,AT)是一個信息系統，其中 U 為論域， AT是 非空屬性集合。A1,A2,A3,···,Am表示 AT的 屬性子集，對于每個 Ai都可根據問題的需要定義模糊關系 Ri與 之對應。對 U上任意的模糊集 X， X的樂觀多粒度下上近似分別為定義如下：

定義3[20]設U、V是兩個非空有限集合，Rt為論域 U 到論域 V 的二元關系， Rt∈F(U×V)，其中t=1,2,···,m 。 ? 是 從 U 到 V 的 二 元 關 系 簇，?={R1,R2,···,Rm}。 有序三元組 (U,V,?)稱為雙論域上的多粒度近似空間。

定義4[21]設有序三元組 (U,V,?)為雙論域上的多粒度模糊近似空間。對任意 A∈F(V)，A在(U,V,?) 中 的 樂 觀 下 近 似和樂觀上近似分別定義為：

當論域U 和 V為 有限域時，運算 ∨表 示取大，∧表示取小。

例1 在醫療診斷中，設U={病毒性發熱，痢疾，傷寒}= {x1,x2,x3}為疾病集，V={發燒，頭痛，胃痛}= {y1,y2,y3} 為癥狀集， Rt(t=1,2,3)∈F(U×V)是3個專家分別給出的 U 到 V 的關系，A為病人對自己癥狀的描述，設

同理，可以計算 A的悲觀上下近似分別為

另外，可以經過計算得到：

同樣，可以計算A的樂觀上下近似分別為

由計算結果可知，雙論域上集合A的樂觀與悲觀上下近似并不存在包含關系，例如但是但是在已經具有某種癥狀的情況下，在直覺上認為醫生對病人疾病診斷的保守估計應該不小于樂觀估計的患病的概率，即上下近似之間應具有包含關系。所以計算結果同直觀理解是不匹配的。

2 雙論域多粒度模糊粗糙集上下近似包含關系的充分條件

由上一章可以看到，將單論域上集合的上下近似定義推廣到雙論域時，其上下近似不一定具有包含關系。下面給出雙論域上給定集合 A的多粒度近似算子具有包含關系的充分條件。

命 題1 當 |U|=|V|=3 ， atij+dσ≤1時，其 中t=1,2,3； σ=1,2,3； i=1,2,3； j=1,2,3，則雙論域上的多粒度粗糙集上下近似具有包含關系。

證明 不妨設：

首先證明悲觀近似算子的情況。

并且對于任意兩個數p、q，有

由定義4可以看到，雙論域上的多粒度近似算子同 Rt中 的元素與模糊隸屬度 dσ有關。要使雙論域上的多粒度近似算子具有包含關系，在悲觀近似算子的情況下，只需悲觀上近似中的元素全都不大于或者不小于下近似中的元素。而關系矩陣 Rt中的元素是任意給出的，所以只需論證 Rt中某一元素的性質，其他元素同理可證。以下具體論證元素 atij的性質。于是問題轉化為討論悲觀下近似中同 atij有關的部分全都不大于或者不小于上近似中的元素。具體論證下面的情況：

由上面3個證明過程可以推出，在悲觀的情況下，當 atij+dσ≤1 時，其中 t=1,2,3 ； σ=1,2,3；i=1,2,3； j=1,2,3，雙論域上的多粒度粗糙集上下近似具有包含關系。

同理可證：樂觀的情況下，上下近似算子中的基本元素并沒有發生改變，所以仍滿足下近似中的任意元素都大于上近似中的任意元素，故最終求得的包含度仍具有相同的大小關系。

一般情況，當論域基數變大且給定粒度的個數推廣至 m時，上述結論仍成立，其結果如下。

命題2 當 atij+dσ≤1時，雙論域上的多粒度粗糙集 A的上、下近似具有包含關系，其中：i=1, 2,3,···,n ；j=1,2,3,···,l；σ=1,2,3,···,l；t=1,2,3,···,m。

證明 設

其中 t=1,2,···,m 。 根據定義4，對 A中 的對象 x1有

類比命題1的證明過程并改變索引集的取值范圍后，可得結論：當a1

1j+dσ≤1，a21j+dσ≤1,···,am1j+dσ≤1 ，σ=1,2,···,l ，j=1,2,···,l 時，有

同理，對A中的對象 xi， i=1,2,3,···,n，也有類似的結論，即當 a1

ij+dσ≤1， a2ij+dσ≤1,···， amij+dσ≤1，i=1,2,···,n， j=1,2,···,l， σ=1,2,···,l時 ，有

對于樂觀的情況，根據命題1同理可證其上下近在滿足上述條件時仍具有包含關系。由此可以得到結論：當 atij+dσ≤1時，雙論域上的多粒度粗糙集 A的上下近似具有包含關系。其中：i=1,2,···,n ；j=1,2,···,l；σ=1,2,···,l；t=1,2,···,m。

在本章研究基礎上，對于雙論域上的多粒度粗糙集上下近似不具備包含關系的，將給出標準化的方法，使之轉化為具有包含關系。

3 標準化方法

由第2章的證明可知，要使雙論域上的多粒度粗糙集 A的上下近似具有包含關系，需滿足條件：atij+dσ≤1 ；i=1,2,···,n ；j =1,2,···,l ；σ=1,2,···,l；t=1,2,···,m ，則只需所有

定義5 在多粒度空間 (U,V,?) 中， ?是一簇從 U 到 V 的二元關系， Rt∈? ，其中， t=1,2,···,m。用ltn=∑Rt(x,yn),yn∈V 來表示關系 Rt下 U中全部對象與 ynx∈∈UV 的關系的總和。定義Imtn=Rt(xm,yn),xm∈U,yn∈V ，表示 U 中對象 xm和 V 中對象 yn在關系 Rt下對應的值。稱 Imt+n為 um相 對 其 他 U 中 的 對 象 對 vn的 相對表現度，稱 R+t=(Imt+n)|U|×|V|為 Rt進 行 標 準化后的矩陣。稱上面的方法為標準化方法。類似的，可以對集合 A進行標準化。

由上述定義可知 Imtn≤ltn。 故任意的即任意的同理可知任意的此時，多個模糊關系和集合都滿足第2章已證明的使雙論域上的多粒度粗糙集A的上下近似具有包含關系的充分條件，因而上述標準化方法可以使不具有包含關系的雙論域上的多粒度粗糙集A的上下近似轉化為具有包含關系的上下近似。

例2 續例1：

對R1、R2、R3進行標準化，結果如下：

A進行標準化后為 A+，則則由雙論域上多粒度粗糙集(樂觀、悲觀)上下近似的定義，可以求得

由計算結果可知：雙論域上的多粒度粗糙集A同與之對應的二元關系進行標準化后，所得到的上下近似已具有包含關系。

4 結束語

本文證明了雙論域下多粒度模糊粗糙集上下近似具有包含關系的一個充分條件為 atij+dσ≤1，i=1,2,···,n ；j=1,2,···,l；σ=1,2,···,l；t=1,2,···,m。并對該模型下，上下近似不具備包含關系的粗糙集給出了一種名為標準化的方法，使之在標準化之后，集合的上下近似之間具有包含關系。