對2018年高考浙江卷中一道數列試題的變式探究

張少華 秦進

摘 要：針對2018年高考數學浙江卷中第20題，應用探究解析的方法，從解法、變式探究方面進行了研討，做出了6個變式，獲得了一些解法。

關鍵詞：高考數學；數列；試題；解法；變式

數列是每年高考數學必考的知識點，都會出現一些趣味的題目。下面對今年浙江卷一道高考數列試題進行探討。

2018年高考數學浙江卷中20題：已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，數列bn滿足b1=1，數列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n，（1）求q的值；（2）求數列bn的通項公式。

一、 解法探索

（一） 題分析：欲求等比數列{an}的公比q，由已知a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，得a3+a4+a5=3a4+4，可得a4=8，a3+a5=20，利用等比數列的通項公式，考慮到q>1，立即可求出公比q=2，問題得解。易知an=2n-1。（解題過程略。）

（二） 題分析：要求數列bn的通項公式，由于數列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n，則當n≥2時，（bn+1-bn）an=2n2+n-2（n-1）2-（n-1）=4n-1。

當n=1時，（b2-b1）a1=3。因此，（bn+1-bn）an=4n-1。由（1）有an=2n-1。所以，bn+1-bn=（4n-1）2-n+1。因而求數列{bn-bn-1}的前n-1項的和，可得bn=-（4n+3）2-n+2+15。

解：設cn=（bn+1-bn）an，由于數列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n，因此，當n≥2時，cn=2n2+n-2（n-1）2-（n-1）=4n-1。又當n=1時，c1=3。故cn=4n-1。由（1）有an=2n-1，因此，bn+1-bn=（4n-1）2-n+1，進而bn-bn-1=（4n-5）2-n+2（n≥2）。

bn-1-bn-2=（4n-9）2-n+3…b2-b1=3，以上n-1個式子兩邊分別相加，得

bn-b1=（4n-5）2-n+2+（4n-9）2-n+3+…+7·2-1+3。

又b1=1，因此，bn=-（4n+3）2-n+2+15。

二、 對試題進行變式探究

對高考數學試題進行變式探究，能夠曲徑通幽，引人入勝。這對老師培養學生的創造性思維及學生的創造性學習可以起到促進作用。下面進行變式探索。

變式1 對于數列{an}，設其前n項和Sn=∑ni=1ai，求Tn=∑ni=1Si（2018年高考數學天津卷18題（1）題）。

分析：由原問題（1）有an=2n-1，從而Sn=∑ni=1ai=∑ni=12i-1=2n-1，因此，可得

Tn=∑ni=1Si=∑ni=1（2i-1）=2n+1-n-2。

變式2 設dn=an+cn，求數列{dn}的前n項和Sdn。

分析：由于dn=an+cn，而數列{an}為等比數列，數列{cn}為等差數列，故要求數列{dn}的前n項和，采取重新分組，分成等比數列、等差數列分別求和即可。

解：由（1）有an=2n-1，cn=4n-1，又dn=an+cn，則Sdn=（a1+c1）+（a2+c2）+

（a3+c3）+…+（an+cn）=（a1+a2+a3+…+an）+（c1+c2+c3+…+cn）

=（1+2+22+…+2n-1）+（3+7+11+…+（4n-1））=2n+n（2n+1）-1。

變式3 設un=cnan，求數列{un}的前n項和Sun。

分析：un=cnan，數列{cn}是等差數列，數列{an}是等比數列，故可用解決原問題（2）的方法求解。

解：Sun=3·1+7·2+11·22+…+（4n-1）2n-1，

2Sun=3·2+7·22+7·23+…+（4n-1）2n。

上述兩式相減，得

-Sun=4·1+4·2+4·22+…+4·2n-1-（4n-1）2n-1，則Sun=2n（4n-5）+5。

變式4 設vn=cnan，求limn→+∞vn。

分析：由于vn=cnan=4n-12n-1是離散函數，則設連續函數f（x）=4x-12x-1，將離散問題連續化。當x→+∞時，f（x）的極限屬于∞∞型，利用洛必達法則，問題迎刃而解。

解：設f（x）=4x-12x-1，則limx→+∞f（x）=limx→+∞4x-12x-1=limx→+∞（4x-1）′（2x-1）′

=8ln2limx→+∞12x=0。因此，limn→+∞vn=0。

變式5 設數列{an}的首項a1=3，前n項和為Sn，且Sn=4an-1+5（n≥2），求其通項公式。

分析：欲求數列{an}的通項公式，已知其前n項和Sn的表達式Sn=4an-1+5，考慮用an=Sn-Sn-1來求解。

解：由于n≥2時，Sn=4an-1+5，于是當n≥3時，an=Sn-Sn-1=（4an-1+5）-（4an-2+5）

=4an-1-4an-2，從而，an-2an-1=2（an-1-2an-2），故an-2an-1=（a2-2a1）2n-2。又a1=3，S2=4a1+5=4·3+5=17，因此，a2=S2-S1=17-3=14。因此，an-2an-1=2·2n。兩邊同時除以2n，得an2n-an-12n-1=2。這樣，數列an2n為等差數列。所以，

an2n=a12+2（n-1）=32+2（n-1）=4n-12，故an=（4n-1）2n-1。

當n=1時，a1=（4·1-1）21-1=3；當n=2時，a2=（4·2-1）22-1=14。因此，當n∈N*，an=（4n-1）2n-1，這就是所求的數列{an}的通項公式。

變式6 設數列{an}的首項a1=3，an=2an-1+4n-1（n≥2），求其通項公式。

分析1：欲求數列{an}的通項公式，已知了遞推關系an=2an-1+4n-1（n≥2），可考慮將問題轉換成一個新數列，使其后一項與前一項的差為一個等差數列與一個等比數列對應項的乘積，從而進行求解。

解法1 因為an=2an-1+4n-1，等式兩邊同時除以2n，得an2n-an-12n-1=4n-12n。利用累加法及解原問題（2）的方法可得an=7·2n-4n-7。

分析2：構造等比數列{an+αn+β}，利用待定系數法求解。

解：設an+αn+β=2[an-1+α（n-1）+β]，則an=2an-1+nα-2α-β。①又an=2an-1+4n-1。②由①②兩式比較系數，得

α=4-2α+β=-1，解得α=4β=7。因此，an+4n+7=7·2n，即an=7·2n-4n-7。

參考文獻：

[1]中國校長網.2018年全國高考數學（理科）試題及參考答案Word版[DB/OL].（2018-06-22）.

[2]張少華，潘永會.對一道高考幾何題的探究[J].中學數學教學參考，2015（7）：74-76.

[3]姜旭東.高中數學教學中學生創造性思維能力的培養[J].考試周刊，2018（99）：87.

作者簡介：

張少華，秦進，貴州省遵義市，遵義師范學院，數學學院。