淺議當立體幾何遇見向量

摘 要：本文從兩個角度通過對空間向量法對解決立體幾何的“方便”和“貢獻”的論述，對比綜合法，指出我們面對不同的立體幾何題應該具體問題具體分析，“兩條腿走路”，兩種方法不可偏廢其一。

關鍵詞：向量法；綜合法；空間想象力；立體幾何

自從2003年4月頒布《普通高中數學課程標準（實驗）》以后，空間向量便成為高中數學一個重要的章節，在平面向量的基礎上，將概念和運算遷移拓展到空間，并且將空間向量知識點和立體幾何知識點相互聯系貫通，由此，立體幾何遇見空間向量。向量法作為立體幾何定理綜合法的一個補充，為解決空間中圖形元素的平行、垂直以及度量角距離等問題提供了新的幾何視角。

一、 向量法的優越性

問題1 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD。E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°。

（1） 在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；

（2） 若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值。

上述題目是選自2016年四川省高考試題，筆者特意分別在學完必修2第二章點線面的位置關系后和選修2-1第三章空間向量和立體幾何后分別給出了這題。給出之后，課堂同學們的反應相差甚遠。

在第一次給出這個題目的時候。

師：對于第一問，同學們想怎么解決？生：CD∥平面PBE。

師：那E點在哪呢？生：E點在CD上。

師：E點在平面PAB內又在CD上，那在哪？生：在CD與平面PAB的交點處。

師：那交點在哪呢？生：延長DC，AB，它們的交點即為要找的點M。

師：那第二問呢？二面角P-CD-A的平面角怎么作？生：∠PDA。

師：對。直線PA與平面PCE所成角呢？我們首先要找直線在平面PCE內的射影。

同學們思考了一會，都束手無策，不知道怎么去作直線在平面PCE內的射影，于是下面我就開始了講解。

過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH。易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE。于是CE⊥平面PAH。

所以平面PCE⊥平面PAH。

過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE。

所以∠APH是PA與平面PCE所成的角。

當我把∠APH作出來以后，同學們很快地求出sin∠APH=AHPH=13。在第二問中，作出線面角是個難點，輔助線該怎么作，由于同學們對立體圖形的整體把握并不是很到位，再加上這個第二問本身就存在難度，所以同學們束手無策。

但是當我在學完空間向量與立體幾何后再次給出這個題目的時候，發現同學們對第二問采取建系坐標法，很快地做出了答案。

可以看出，空間向量的建系坐標法相比較于定理綜合法而言，化繁為簡，化難為易，讓學生擺脫空間圖形中讓人眼花繚亂的點線面的位置關系的束縛，不需要添加輔助線，在空間立體感上要求低很多，直接通過向量的運算解決空間立體幾何的平行、垂直和角度等問題，因此，備受師生們的追捧青睞，向量法也逐步成為當前高考應試的主要方法。為了使學生能夠快速突破空間平行、垂直以及角度距離等難度很大的立體圖形背景，部分教師在立體幾何初始教學中就開始向學生傳授向量的建系坐標法，當然這值得商榷。

二、 向量法的愚笨

問題2 如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點。

（1） 證明：PO⊥平面ABC；

（2） 若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值。

該題取自2018年全國卷2（理科），第一問，同學們很容易證明PO⊥平面ABC。只要證明OP⊥OB，OP⊥AC，但是第二問同學們好像只會走建系坐標法這條路。

師：過程不難，但是總感覺繁瑣。用綜合法行不行呢？（同學們開始自己嘗試作出二面角的平面角和線面角）

不一會，同學A舉手示意。

生A：過C點作CG⊥平面PAM，垂足為G，過C點作CH⊥PA，交PA于H，連接HG，PG，則∠GHC=30°，在等邊三角形△PAC中，PC=4，所以CH=23，從而CG=3，∠GPC為所求的線面角，在Rt△GPC中，sin∠GPC=GCPC=34。

師：非常棒的解法！還有沒有其他同學想出這個方法？（同學們陸續舉手）

對比以上兩種解法，很顯然，建系向量法要比綜合法顯得愚笨很多，綜合法只要作出二面角的平面角和線面角就可以解決這個問題，不需要像建系坐標法那樣確定點M的具體位置，避免了繁冗的計算，巧妙地結合了二面角的平面角和線面角的圖形特征。

新課標指出：在教學中，鼓勵學生靈活選用向量法和綜合法，從不同角度解決立體幾何問題。在數學教學實踐中，學生能夠運用知識解題是基本，但是在學習知識的過程中，學生的思維能力的發展對后續的進一步學習更加重要，向量法可能很快地讓學生解決問題，是一個很好的應試方法，但是綜合法在解決問題的過程中，通過直觀感知、觀察發現、演繹證明等過程，培養建立邏輯推理能力。在教學中，應該遵循教學規律和學生的認知規律，循序漸進，步步為營，不要對綜合法和向量法厚此薄彼，具體問題具體分析，學會選擇恰當的方法，最后實現融會貫通，靈活運用。

參考文獻：

[1]薛金星.2018年全國及各省市高考試題全解數學卷[M].西安：陜西人民教育出版社，2018.

[2]薛金星.2016年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2018.

[3]方孝釧.非坐標形式向量法解高考立體幾何題的嘗試與思考[J].中學數學教學參考，2010.

作者簡介：

余海斌，安徽省淮南市，淮南第二中學。