復合函數的常見題型及解法

楊樹才

摘 要：復合函數的概念，復合函數的定義域，復合函數的值域或最值，判斷復合函數的單調性，求參數的取值范圍（或值）。

關鍵詞：復合函數；題型；解法

函數y=f（u），而u=g（x），且函數g（x）的值域包含在f（u）的定義域內，那么y通過u的聯系也是自變量x的函數，我們稱y為x的復合函數，記為y=f（g（x）），其中u稱為中間變量。下面就復合函數中常見的四類題型的解法歸納如下：

【題型一】求復合函數的定義域

【例1】函數y=xln（1-x）的定義域為（ ）

A. （0，1）

B. [0，1）

C. （0，1]

D. [0，1]

【解析】要使函數有意義，則x≥01-x>0，解得0≤x<1。選B。

【評注】偶次根式和對數函數有意義的條件可得不等式組。

【變式1】已知函數f（g（x））的定義域→求函數f（φ（x））的定義域

已知函數f（2x）的定義域為[-1，1]，求f（log2x）的定義域。

【解析】∵-1≤x≤1∴12≤2x≤2即f（x）的定義域為[12，2]。

∵12≤log2x≤2，∴2≤x≤4。

故f（log2x）的定義域為[2），（4]。

【題型二】求復合函數的值域或最值

【例2】已知函數f（x）=（log4x-3）·log44x。

（Ⅰ）當x∈[14，16]時，求該函數的值域；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）+log4x2-2a·log4x，求g（x）在x∈[42，44]上的最值。

【解析】（Ⅰ）f（x）=（log4x）2-2log4x-3，令t=log4x，則x∈[14，16]時，t∈[-1，2]，

此時有y=t2-2t-3，∴y∈[-4，0]。

（Ⅱ）g（x）=（log4x）2-2a·log4x-3，令t=log4x，則x∈[42，44]時，t∈[2，4]，

此時有y=t2-2a·t-3，

①當a≤2時，當t=2時，ymin=1-4a；當t=4時，ymax=13-8a。

②當2

③當3

④當a≥4時，當t=4時，ymin=13-8a；當t=2時ymax=1-4a。

【評注】本題用“換元法”求復合函數值域，注意換元后字母的取值范圍。

【變式2】用“配方法”→求復合函數最值

已知2x≤256且log2x≥12，求函數f（x）=log2x2·log2x2的最大值和最小值。

【解析】由2x≤256得x≤8，log2x≤3，即12≤log2x≤3，

f（x）=（log2x-1）·（log2x-2）=（log2x-32）2-14。

當log2x=32，f（x）min=-14，

當log2x=3，f（x）max=2。

【變式3】用“單調性法”→求復合函數值域

求函數y=log0.5（-x2+2x+3）的值域。

【解析】由-x2+2x+3>0得-1

令u=-x2+2x+3=-（x-1）2+4則0

∵y=log0.5u在（0，4]上單調遞減，∴y≥-2。

故所求函數的值域為[-2，+∞）。

【題型三】判斷復合函數的單調性

【例3】（2014年天津卷）函數f（x）=log12（x2-4）的單調遞增區間為（ ）

A.（0，+∞）

B.（-∞，0）

C.（2，+∞）

D.（-∞，-2）

【解析】由x2-4>0得f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞）。

令u=x2-4，則u在（-∞，-2）上遞減，在（2，+∞）上遞增。

因為y=log12u在其定義域上遞減，

所以f（x）單調遞增區間為（-∞，-2）。故選D。

【評注】復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則。但函數的單調區間必須是其定義域的子集。本題是由對數函數與二次函數復合而成的。

【變式4】函數f（x）=x2-4的單調遞增區間為 。

【答案】[2，+∞）

【變式5】函數f（x）=2x2-4的單調遞增區間為 。

【答案】[0，+∞）

題型四：求參數的取值范圍（或值）

【例4】（2014·江西理3）已知函數f（x）=5|x|，g（x）=ax2-x（a∈R）。若f[g（1）]=1則a=（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. -1

【解析】∵g（1）=a-1∴f[g（1）]=f（a-1）=5|a-1|=1∴|a-1|=0∴a=1。

【評注】本題是“由內到外”求復合函數值而得到a。

【變式6】已知復合函數的定義域→求參數的取值范圍

函數f（x）=mx2+mx+1的定義域為R，則實數m的取值范圍是（ ）

A.[0，4]

B.[0，4）

C.[4，+∞）

D.（0，4）

【解析】f（x）=mx2+mx+1的定義域為R