解答錯題 啟迪人生

摘 要：高中數學是一門比較難學的基礎學科，同一個題目有多種解題方法，致使解題難，而命題更難。通過對本校模擬錯題的分析，檢驗了所學的知識，提高了解題能力，同時，還明白了人生哲理：要想在挑戰和絕望中贏得轉機，就必須事先做好充分準備，只有這樣，才能有信心去迎接挑戰和絕望。

關鍵詞：數學錯題；從形和方程的角度解答；啟迪人生

眾所周知，高中數學是一門比較難學的基礎學科，由于同一個題目有多種解題方法，致使命題者增加了難度，真可謂：解題難，而命題更難。通過對本校第一次模擬試題的分析，發現其中一個解答題，系命題者考慮不周，而留給本文探討的好題目。

一、 命題內容

在△ABC中，角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC。

（一） 求b的值；

（二） 若B=π4，S為△ABC的面積，求S+82·cosAcosC的取值范圍。

二、 分析解答

（一） b=4（解題過程略）；

（二） 這一小題，既可從形的角度來分析解答，也可從方程的角度進行分析解答。

1. 由形入手進行分析解答：

∵S=12b2sinA·sinCsinB=82sinAsinC，又A+C=34π，∴0

∴S+82cosAcosC=82sinAsinC+82cosAcosC=82cos（A-C）=82cos2A-34π，而-3π4<2A-34π<3π4，∴S+82cosAcosC∈（-8，82].

此小題從表面上看，是一個常規的題型，比較平常，用常規的思路解題，沒有任何懸念。但運用所學的知識，仔細進行分析，發現隱含著我們未曾注意到的知識點：

題中的sinAcosC=3cosAsinC，可由正弦定理化為acosC=3ccosA，∴A，C都為銳角，這給本小題增加了限制條件，角A，C的范圍應重新計算，∴0

分析到這里，挖掘到上面這樣一個隱含條件，筆者緩緩舒了一口氣。“行百里者半九十”，再接再厲，繼續分析，a2-c2=2b，是否也會隱含什么？筆者又有了新的發現：

a2-c2=2b>0，∴A>C，∴A>34π-A，即38π

根據題中的條件a2-c2=2b，作右圖：以AC為x軸，以它的垂直平分線為y軸，

建立平面直角坐標系，A（-2，0），C（2，0）.

設B（x，y），∴a2-c2=BC2-AB2=（x-2）2+y2-（x+2）2-y2=-8x=8，

∴x=-1，這樣，得到點B在直線x=-1上，又B=π4，所以點B是一個定點，從而可知，題中的S+82·cosAcosC是一個定值。（驚訝否？）

大家也可以這樣來看B點的軌跡：∵B=π4，

所以點B在以M為圓心的圓上，∠AMC=90°，

又AC=4，A（-2，0），C（2，0），∴圓M的方程為x+（y-2）2=8，

∵根據正弦定理，可將sinAcosC=3cosAsinC化為acosC=3ccosA，

由此可知，點B在x軸上的投影點為-1，再在圓方程x+（y-2）2=8中取x=-1，可得

y=7+2，∴B（-1，7+2），也就是說，點B的位置是確定的，從而可知，角A，C是定值，S+82cosAcosC也是一個定值。S+82cosAcosC是定值，證明如下：

由上可知AB=（7+2）2+1=23+7，

∴cosA=123+7，sinA=7+223+7.

同理：sinC=7+225+7，cosC=325+7

∴S+82cosAcosC=82（sinAsinC+cosAcosC）=4（7+27）11+47

2. 從方程的角度進行分析解答：

∵a2-c2=8，又∵B=π4，由余弦定理得：16=a2+c2-2ac，兩個方程兩個未知數，可知a，c是可以求出來的定值，進而知道，S+82cosAcosC是一個定值。

由16=a2+c2-2aca2-c2=8，得：a2+c2-2ac=2（a2-c2），即3c2-2ac-a2=0.

令ca=t，3t2-2t-1=0，∴t=2-146，t2=16+4736=4+79，∴a2=725-7=20+47，因邊長a，c是定值，故角A，C也隨之確定了（為定值），留下的就是對結果的計算了。

此題，是命題老師考慮不周所致，其結果雖不盡人意，但讓筆者感到無比欣慰。它讓筆者檢驗了所學的數學知識，鍛煉了發現問題和解決問題的能力，提高了數學的解題水平。

此題雖是錯題，但是一個能鍛煉人思維的好題，它讓人們明白如下道理：挑戰和機遇并存，絕望和希望并存，但機遇和希望，都是留給有充分準備而信心十足的人。一個人如果平時不努力，沒有做好充分的準備，即使碰到了機遇和希望，也將會因沒有準備，而喪失良機和絕望嘆息，更不可能在挑戰和絕望中贏得轉機。只有腳踏實地，一步一個腳印，持之以恒、不斷努力的人，才有信心去迎接挑戰，在絕望中看到曙光。

參考文獻：

[1][美]G·波利亞，涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]曹兵.高中數學難題新題精講精練300例[M].上海：上海交通大學出版社，2008.

[3]陳汝作，鄭又宜.高中數學解題技巧[M].上海：東方出版中心，1992.

作者簡介：

葉杭來，浙江省臺州市，浙江省三門中學。