關于阻力作用下小球上拋和下落的討論

陳雪 韓玉龍 張靜雅 王博

摘 要：豎直上拋和下落是運動學中典型的例子，中學物理易解決不考慮空氣阻力運動情況的上拋和下落，本文了討論小球在運動過程中受到阻力作用下的運動情況。

關鍵詞：牛頓第二運動定律；阻力；上拋

不考慮阻力情況下，小球上拋過程中只在重力作用下運動。小球拋出后，加速度始終為重力加速度g的勻變速運動，可分為上拋時的勻減速運動和下落時的自由落體兩個過程。兩段過程具有嚴格的對稱性，其中包括速度對稱、時間對稱和能量對稱。

考慮阻力情況下，上述的對稱性將被打破，本文討論了質量為m的小球以初速度v0當從地面上豎直上拋，受到阻力情況下，小球落回地面的速度發生的變化。小球豎直上拋時，受力分析如圖1所示，圖中v為小球運動速度，h為小球上拋的最大高度。考慮如下兩種情況。

圖1 受力分析

一、 阻力大小為αmv2（黏滯系數α為常數，v為小球速度）

小球豎直向上拋出，受到重力和阻力作用，以地面為坐標原點，豎直向上為y軸正方向，由牛頓第二運動定律可得受力方程為

-mg-αmv2=mdvdt（1）

進行微元變換可得-mg-αmv2=mvdvdy，即

dy=mvdv-mg-αmv2（2）

對上述微分方程等式兩邊同時積分∫h0dy=∫0v0mvdv-mg-αmv2，可得小球落到地面的距離h為

h=12αlnmg+αmv20mg（3）

下落過程，重力方向依然豎直向下，而阻力方向向上，受力方程為

-mg+αmv2=mdvdt（4）

類似的可以獲得下降過程的高度h表達式，其中v1為小球落到地面時的速度

h=12αlnmgmg-αmv21（5）

小球從地面上拋出，上升高度和下落高度相等，因此（3）和（5）式應一樣，可得小球落到地面時速度滿足

v1=v0gαv20+g（6）

二、 阻力大小為αmv（黏滯系數α為常數，v為小球速度）

受力分析過程不變，但是阻力表達式發生變化，可得上拋和下落過程的受力方程分別為

-mg-αmv=mdvdt（7）

-mg+αmv=mdvdt（8）

對上述方程做同樣的處理，得到微dy的表達式后對等式兩邊同時積分，可以給出上拋最大高度和下落到地面高度所滿足的表達式如式（10）和（11）所示

h=v0α+gα2lngg+αv0（10）

h=-v1α+gα2lng+αv1g（11）

由上拋和下落到地面的距離相等，可知h=v0α+gα2lngg+αv0=-v1α+gα2lng+αv1g，雖然此等式難以獲得小球下落到地面時速度v1的解析表達式，但是可以確定的是等式中只有未知量v1，只要給出初速度、黏滯系數等值，即可以獲得v1的結果。

參考文獻：

[1]《力學詞典》編輯部.力學詞典[M].北京：中國大百科全書出版社，1990：118，161，277.

作者簡介：

陳雪，安徽省六安市，安徽省皖西中學；

韓玉龍，張靜雅，王博，安徽省蕪湖市，安徽信息工程學院。