“建模—變式—拓展—反思”教學模式

劉海娟

【摘要】中考是學生面臨的第一次選拔性的考試，初三總復習是教師和學生必經歷的重要階段，通常大家都把復習分成三個階段，也是通常所說的三輪復習：第一輪，對數(shù)學知識章節(jié)進行系統(tǒng)性地梳理；第三輪側重于綜合訓練，模擬考試，查漏補缺；所以對學生綜合能力的提升和突破則落在第二輪專題復習上；從最近中考試卷來看，更多地考察學生的能力，特別是知識的遷移和變通能力，這樣對教師和學生都提出了更高級別的要求，筆者結合自己多年初三復習教學經驗，專題復習還是可以非常有效地強化重點，突破難點，在對多個專題教學的研究中，琢磨地構建了“建模—變式—拓展—反思”復習教學模式，并且運用了“建模—變式—拓展—反思”模式展開了中考第二輪專題復習實踐，并從以下幾個環(huán)節(jié)進行教學設計：“課前題組練習——建模”環(huán)節(jié)→“模型基礎應用——基礎變式”環(huán)節(jié)→“變式題組1——拓展變式”環(huán)節(jié)→“變式題組2—歸納反思”環(huán)節(jié)→課后題組檢驗環(huán)節(jié)，，在實踐過程中，在強化重點，突破難點方面還是取得一定效果的。

【關鍵詞】建模 變式拓展 復習教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）01-0110-03

一、問題的提出

中考是學生面臨的第一次選拔性的考試，初三總復習是教師和學生必經歷的重要階段，通常大家都把復習分成三個階段，也是通常所說的三輪復習：第一輪，對數(shù)學知識章節(jié)進行系統(tǒng)性地梳理；第二輪，按數(shù)學思想方法或解題方法進行專題復習；第三輪，綜合訓練，模擬考試，查漏補缺。其中第一輪是復習初中基礎知識，而第二輪才是對學生綜合能力的一次提升，也是對突破中考壓軸題、新題的如何分析題意和解題方法的一種強化訓練，第三輪是更多地適應中考題型和考試心理應戰(zhàn)狀態(tài)，同時兼查漏補缺，所以，本人認為第二輪復習才尤為重要。

在剛結束的這屆九年級總復習開始時，舉辦了一個小型座談會，都一致感覺基礎題沒有問題，而困惑最大的是難題，新題聽得懂，卻做不來，一接觸到沒見過的題或信息量大的題，就不知如何下手解題，找不到切入口而一籌莫展。

以上種種說明要提高學生的解題能力，提高總復習的效率，需要教師加強和改進第二輪專題復習的教學模式。

二、“建模—變式—拓展—反思”教學模式的理念基礎

美國數(shù)學家哈爾莫斯（P.P.Halmos）說：“數(shù)學的真正組成部分應該是問題和解題，解題才是數(shù)學的心臟。”

認知理論啟示元認知就是主體對認知活動的自我意識和自我調節(jié)，它包括三個組成部分，即元認知知識、元認知體驗、元認知監(jiān)控，三者互為依據(jù)，互相相約，有機結合成一個統(tǒng)一整體，元認知理論強調人是積極主動的機體，其主體意識監(jiān)控現(xiàn)在、計劃未來，有效地控制自己的思維和學習過程，所以在解題活動中，元認知不僅能指明解題方向，誘發(fā)解題思路，而且能監(jiān)控解題過程，克服解題障礙、優(yōu)化解題過程，從而促進探索思維有效地展開。“建模—變式—拓展—反思”教學模式旨在探尋一種有效思維解題的復習模式。

波利亞解題思想是一種具有數(shù)學教育特征的解題理論，對此思想進行研究，使其能熟練地運用在解題教學實踐中，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，他在《怎樣解題》中對數(shù)學解題劃分為四個階段：弄清問題→擬定計劃→實現(xiàn)計劃→回顧。“建模—變式—拓展—反思”教學模式旨在實踐波利亞解題思想。

建模就是建立模型，就是為了理解事物而對事物做出一種抽象，建立模型的過程，又稱模型化，凡是用模型描述系統(tǒng)的因果關系或相互關系的過程屬于建模，“建模—變式—拓展—反思”教學模式就在于把一系列相關知識題抽象成一個基礎知識原理，讓學生應用更自如。

三、“建模—變式—拓展—反思”教學模式在中考數(shù)學專題復習中的實踐研究

（一）“建模—變式—拓展—反思”教學模式的教學目標

1.強化重點，突破難點

在第一輪基礎復習的基礎上，學生對教材中的基礎知識、基本方法和基本技能都有很深的理解，“建模—變式—拓展—反思”教學模式就是在把握重點的基礎上，不斷強化重點，以變式---拓展為主要呈現(xiàn)方式，突破難點。

2.加強建模意識培養(yǎng)，提升學生觸類旁通的能力

整體初中階段的數(shù)學知識體系可以分為三大類，每一大類的主線都非常明確，對學生而言，“數(shù)與代數(shù)”和“統(tǒng)計與概率”感覺容易，解題方法相對單一一點，容易找到解題的突破口，而對“圖形與幾何”感覺要難，解題方法靈活，變化多樣。“建模—變式—拓展—反思”教學模式中的建模探究，結合反思、梳理成基本圖形或基本原理，提升學生觸類旁通的能力。

3.提升學生學習能力

學生學習數(shù)學大部分還停留在知識點，基礎題準確率在第一輪復習后有明顯提高，每次的考試，好學生的分數(shù)差異就在那么幾題上，“建模—變式—拓展—反思”教學模式下，通過對一系列相關知識點的題進行建模、變式、拓展、反思等活動，提升了學生的學習能力。

（二）“建模—變式—拓展—反思”教學模式的操作程序

通過建模，對問題不斷地進行變換，在變換中增加思維的難度，讓學生的思維“跳—跳”，結合教學實踐，筆者提出了“建模—變式—拓展—反思”教學模式，其一般流程圖，如圖：

從圖中可以看出，此模式的操作流程突出了“建模—變式—拓展—反思”的教學模式，其主要操作如下：

1.“課前題組練習——建模”環(huán)節(jié)

由教師精心設計一組有關一個基礎知識或一個基本原理的專項題組，提前一天下發(fā)，讓學生做，上交，批改后個別同學個別輔導，在教師整理后，了解學生對這一知識點的認識水平，構想出建模的方法。

課前題組：

①如圖，在一條筆直的公路兩側，分別有A，B兩個村莊，現(xiàn)在要在公路L上建一座火力發(fā)電廠，向兩個村莊A，B供電，為使所用電線最短，問供電廠C應建在何處？并說明理由。

②在上題中，如果A，B兩個村莊位于公路L的同側，又如何確定供電廠C呢？

建模：基礎原理：兩點之間線段最短

基礎圖形：如上圖，關鍵是利用對稱軸的性質進行轉化。

2.“模型基礎應用——基礎變式”環(huán)節(jié)

模型基礎題組的選題主要是基于剛剛建立的模型的基礎變式，限時5分鐘。學生在解題過程中，教師巡視，針對能力不夠的學生進行適應輔導，然后師生共同分析，核對答案，學生迅速地自我批改、訂正。

基礎模型題組：

①如圖1，村莊A正好是一個正方形ADEF的一個頂點，而村莊B正好落在邊AD的中點上，而在菱形的對角線FD上建一座火力發(fā)電廠C，向兩個村莊A，B供電，為使所用電線最短，問供電廠C應建在何處？并說明理由。

②如圖2，邊長為2的等邊△ABC中，點D，E是AB，AC的中點，在BE上找一點P，使△ADP的周長最小。

③如圖3，在菱形ABCD中，AB=4，E是BC上的動點，∠BAD=120°，請在BD上找點P，使PE+PC的值最小，并求出最小值。

3.“變式題組1——拓展變式”環(huán)節(jié)

變式題組1的選題主要是在模型基礎應用的基礎上進行適應的拔高，讓學生的思維有一定模型應用概念和意識，讓學生學會應用知識解決問題，通過拓展、反思，提煉出解決這一模型題的核心，歸納此類題解的前題，判斷是否滿足這一模型，如滿足則應用這模型解題，歸納出解的方法和步驟，這是這節(jié)課的中心環(huán)節(jié)，也是重中之重，要求班上百分八十的同學要會做。如在模型基礎應用的基礎上又設計了如下一組題：

反思：通過以上一組變式題強化，對不同圖形中的應用（圖形本身很多自己具有軸對稱性），學生進一步加深了對“利用軸對稱求最小值”的理解，更深刻地理解在怎樣的前提下應用它來解題。

4.“變式題組2—歸納反思”環(huán)節(jié)

前面三組題組還是緊扣基本模型的基礎應用，而這環(huán)節(jié)就要讓學生“跳一跳”，就是對前面知識應用與拓展，讓學生真正學會融會貫通、舉一反三的能力，從而真正體會到學習數(shù)學的價值。

變式題組2：

變式5：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=1，AD=2，在BC、CD上分別找一點M，N，使得△AMN的周長最小，則△AMN的周長最小是____.

變式6：A、B兩村位于一條河的兩岸，假定河的兩岸筆直且不行，如圖，現(xiàn)要在河上垂直于河岸建一座橋，問：應把橋建在什么位置，才能使A村經過這座橋到B村的路程最短？請畫出草圖。

反思：這組題由前面的一條邊找到點引申到兩條邊上找到點，由對稱軸是兩條線引申到兩條平行線，這樣的題源于前面“利用軸對稱求最小值“基礎模型，但又高于它，這就對學生的原有知識遷移能力有較高的要求。與此同時通過“變式題組2—歸納反思”環(huán)節(jié)，形成了一個從“套用”到“應用”的一個突破，從而突破這個模型應用的難點。

5.課后題組檢驗環(huán)節(jié)

課后題組檢驗環(huán)節(jié)主要中檢測同學們在這節(jié)課中對這一基本模型掌握和應用情況。題組一般有兩部分組成：一是讓學生對課堂上模型進行歸納，對知識和解題方法進行整合歸納；二是由教師提供題組，題組緊扣課堂的知識、課堂上做錯的題型、做得慢的題及沒有解題思路的題。

（三）“建模—變式—拓展—反思”復習教學模式的具體操作實例

“建模—變式—拓展—反思”教學模式的操作流程，是筆者在多屆復習實踐中的歸納總結，并對這專題復習不斷地反思和重建而得，下面就以“幾何圖形中的最值問題”為例，作一個具體說明。

1.“幾何圖形中的最值問題”教學內容的設置

在進入第二輪的專題復習時，學生已基本掌握了常規(guī)題的解題策略和方法，但最值問題始終是他們的“軟肋”，得分率很低，也是拉開差距的題，所以，筆者覺得還是很有必要以“最值”為一個專題進行專門的突破。

為了充分了解學生對“最值”的實際掌握情況，筆者對九上一次小測試對下題作了一個簡單的統(tǒng)計：

試題：如圖，M，N是正方形ABCD的邊BC上兩個動點，滿足BM=CN，連結AC交DN于點P，連結AM交BP于點Q，若正方形的邊長為1，則線段CQ的最小值是____________.

從以上簡單統(tǒng)計反饋來看，最值的求解還是他們的短板，下面就通過《幾何圖形中的最值》教學設計來說明“建模—變式—拓展—反思”復習教學模式的實施。

2.“幾何圖形中的最值問題”教學效果檢測

試題：在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線CD，CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，若AD=4，試求出線段CP的最小值是___________.

說明：這是九下第二輪復習做的，離上次相隔時間有點長，并且901班講過這專題后做，而902班沒講。

從兩個表格對比來看，901班準確率明顯提升了，從12.8%提升到44.7%，主要的原因是只要掌握了基本模型，直接套用就能得出正確答案，知道了這種題如何下手。

四、結束語

中考一再強調杜絕“題海戰(zhàn)術”，并且從最近中考試卷來看，更多地考查學生的能力，特別是知識的遷移和變通能力，這樣對教師和學生都提出了更高級別的要求，筆者結合自己多年初三復習教學經驗，專題復習還是非常有效強化重點，突破難點，對多個專題教學的研究，構建了“建模—變式—拓展—反思”復習教學模式，并且運用了“建模—變式—拓展—反思”模式展開了中考第二輪專題復習實踐，最后從統(tǒng)計的結果來看“建模—變式—拓展—反思”復習模式還是可行和有效的。

在“建模—變式—拓展—反思”實踐過程中，最大的困難是如何確定這“模”，怎樣建“模”學生易懂，會用，而這困難正是筆者今后研究的方向。如有不妥之處，也請同仁給予指正，共同進行。

參考文獻：

[1]波比亞.怎樣解題[M].北京科學出版社，1989

[2]《怎樣學會解題》《中學數(shù)學教學參考》2009年3期 第9頁

[3]《激活解題思路，探究拓展變式》《中學數(shù)學教學參考》2013年中旬1-2第58頁