機載折反式光學系統的無熱化設計

廖勁峰， 丁亞林， 姚 園

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所 航空光學成像與測量重點實驗室， 吉林 長春 130033；2.中國科學院大學， 北京 100049)

1 引 言

一般情況下設計一個光學系統，其使用條件都是常溫常壓。但是對于機載光學系統而言，隨著飛行高度的爬升，光學系統所處的環境條件與地面相差極大，尤其是溫度的變化對成像質量的影響尤為明顯。因為溫度變化會引起介質的折射率變化，會導致光學系統中光學元件的厚度、元件之間的空氣間隔以及各折射面和反射面面型發生變化[1-3]。隨著航空相機獲得高質量成像的需要，機載光學系統的消熱差技術也得到了很大的發展。

早在20世紀30年代，Perry等[4]人闡述了溫度變化對光學系統的影響，提出了無熱設計的概念；后來Tamagawa等人[5]采用無熱圖實現多透鏡系統的無熱化設計；Behrmann等人采用衍射元件的方法，利用衍射元件負的色散系數和獨特的溫度特性實現消熱差設計[6]。光學系統的無熱化技術通常可以分為3大類[7]：機械被動式無熱技術、機電主動式無熱技術和光學被動式無熱技術。光學被動式無熱技術相對其他兩種熱補償技術，具有結構相對簡單、成本低和穩定可靠等優點[8-10]。

本文針對某機載折反式可見光光學系統在實際測試中成像質量不佳的情況，基于折反系統的特點，主要采用光學被動式無熱技術對此系統進行優化。通過光學設計軟件仿真，驗證其在溫度變化的情況下能獲得較好的成像質量。

2 溫度變化對成像的影響因素

光學被動式無熱技術主要是利用系統各光學元件之間不同的熱特性，通過不同的光學材料之間的相互補償，以達到消熱差的目的。而系統獲得高質量成像的要求是系統成像面與接收器處于同一位置。因此，分析可能會對系統像面位置造成影響的系統元件與支撐材料就尤為重要。

2.1 光學元件的影響

透鏡的光焦度公式為：

(1)

式中：Φ為透鏡的光焦度；f′為單透鏡的焦距；r1和r2分別為透鏡第一面和第二面的曲率半徑；n為透鏡的折射率；d為透鏡的厚度。在分析溫度對透鏡焦距的影響時，需要將式(1)對溫度求導，但是求導結果太過復雜，不利于影響因素的分析，所以我們希望用薄透鏡系統代替厚透鏡系統。為此，單獨選擇一塊透鏡進行討論，透鏡的r1=161.951 mm，r2=-165.72 mm，d=16.5 mm，玻璃材料為K9。該透鏡在20 ℃時焦距為161.386 78，薄透鏡公式計算的焦距為158.619 35；在40 ℃時透鏡的焦距為161.396 77，薄透鏡公式計算的焦距為158.628 7。Δf′分別為0.009 99與0.009 35，誤差值約為變化值的1/15，因此用薄透鏡的光焦度公式代替完整的透鏡光焦度公式來簡化模型進行熱分析是可行的。

令d=0，則薄透鏡的光焦度公式為：

(2)

將式(2)對溫度求導可得：

(3)

(4)

由式(3)可以看出，變化的溫度通過改變透鏡的折射率，表面的曲率半徑來改變透鏡的焦距。

值得注意的是，在仿真過程中需要分清所用的溫度折射率系數是玻璃材料的相對折射率的溫度折射率系數還是絕對折射率的溫度折射率系數。當采用玻璃材料相對折射率的溫度折射率系數進行分析時，式(4)得到的結果是完全正確的。如果采用玻璃絕對折射率的溫度折射率系數進行分析，則實際溫度變化時透鏡的折射率應為：

(5)

(6)

同理對上式求導并化簡可得：

(7)

將n′=n·n0帶入其中并化簡可得：

(8)

令

(9)

則式(8)可化為：

(10)

對于折反系統中的反射鏡，其光焦度公式為[11]：

(11)

式中：r為反射鏡的曲率半徑，n為反射鏡所處空間的折射率。因為空氣的折射率約等于1，將式(11)對溫度求導并化簡可得：

(12)

因為反射鏡的入射光線和出射光線在同一空間，所以反射鏡焦距幾乎不受空氣折射率的影響，只與反射鏡的面型相關。所以不用考慮空氣折射率的變化對反射鏡焦距變化的影響。

對于多透鏡組成的光學系統，設光學系統由n個折射面組成，如圖1所示，對于任意面k，由單個折射面的物像關系式知：

(13)

(14)

(15)

式(15)是系統像距隨溫度變化的方程，對處于空氣介質中的折射光學系統，每2個面與其中間的材料相結合組成一個透鏡，其兩邊的折射率為空氣，暫時忽略空氣折射率的變化，將式(15)進一步化簡可得：

(16)

式中：m為組成折射系統透鏡的個數；hi表示光線在第i個透鏡的投射高度；αi表示第i和i+1個透鏡間的材料線膨脹系數。設透鏡間材料的熱膨脹為0，則系統透鏡隨溫度變化對像距的影響為：

(17)

圖1 由n個面組成的折射光學系統示意圖Fig.1 Refractive optical system made of n optical surfaces

對多光組組成的光學系統，設光學系統由i個光組組成,如圖2所示，由三角關系可得系統出射光線與光軸的夾角為：

(18)

式中：h1為第一近軸光線在第一面的入射高度，f′為系統的焦距。

圖2 多光組組合光線示意圖Fig.2 Ray of multibeam combination

結合式(17)與式(18)可以得到，最終系統光學元件隨溫度變化對像距的影響為：

(19)

2.2 支撐材料的影響

多數文獻認為，鏡筒材料對焦距的影響量可以粗略地等同于筒長乘以線膨脹系數，這對于大多數的折射式光學系統而言是可行的。但是一些折反式光學系統不同，尤其是長焦距的折反式光學系統，其對成像起主要作用的是反射鏡部分，反射鏡之間的間隔變化對焦距的影響量要遠大于間隔的變化量。如圖3所示的反射系統簡圖，平行光線入射第一面反射鏡，成像在O點，O點作為第二面反射鏡的物點，成像到A點。如果兩反射鏡的間距L變化了ΔL，則相當于第二面反射鏡的物點O移動了ΔL的距離，由高斯公式可知，最終像點A移動的距離與第二面反射鏡的放大倍率相關，而不是約為ΔL。

圖3 反射系統簡圖Fig.3 Diagram of reflective system

因此，針對這一特點引入軸向放大率β，其定義為系統各元件之間間隔改變所引起的系統后截距變化量與間隔變化量的比值，系統的后截距為系統最后一個面到系統像面的距離。光學元件之間間隔的變化對系統后截距的影響量為：

(20)

式中：αi為支撐材料的線膨脹系數，βi為各元件間隔的軸向放大率，Δβi為溫度變化所引起的軸向放大率變化，Li為各元件之間的間隔長度。軟件仿真結果表明，單位溫度變化下，Δβi不足βi的1/100，因此在指導設計時Δβi可忽略不計。

實際優化過程中需要注意的是，光學元件的間隔不完全等同于連接兩元件的機械材料長度。如圖4所示，是用機械材料連接的光學元件的兩個面，兩元件之間的間隔為L，而連接兩元件的鏡筒長度為L1，溫度變化時兩元件間隔的變化量為ΔL′=ΔL1-Δd1-Δd2而不是簡單的ΔL=L·α·ΔT。當L遠大于d1、d2時，ΔL≈ΔL′；當L與d1,d2數值相近時，就需要完整討論，可根據L與d1和d2的數量級關系來決定是否進行簡化計算。

圖4 鏡片連接示意圖Fig.4 Lens connection

3 無熱化設計

某機載折反式可見光光學系統的結構圖如圖5所示，系統焦距f′=1 850 mm，像方F數為6，全視場2ω=2°，反射鏡材料為碳化硅，鏡筒材料為鈦合金，要求在0～40 ℃的溫度范圍內調制傳遞函數不低于0.3。

圖5 系統原結構圖Fig.5 System structure

此時系統在0～40 ℃的光學傳遞函數圖如圖6所示，從圖中可以看出，系統在20 ℃時成像質量良好，調制傳遞函數曲線接近衍射極限，在變化了20 ℃之后，調制傳遞函數急劇下降，成像質量變得非常差。

由式(10)、(12)、(19)可知，本系統的光學元件對系統后截距的影響為：

(21)

要使成像質量最佳，需要系統的焦面與接收面重合，結合式(20)，本系統的消熱差條件為：

(22)

式中:α均為材料的線膨脹系數，βi為各光學元件間隔的軸向放大率，Li為各光學元件之間的間距，Lm為后截距的長度。

根據式(22)的消熱差方程，將系統的參數全部帶入其中。在優化時將各因素的影響程度從大到小排列，按從大到小的順序依次調整。計算結果表明改變玻璃材料對系統焦距的影響不如改變鏡筒材料對系統焦距的影響大。使用鈦合金作為鏡筒材料時，鏡筒的膨脹引起的像距變化量大于光學元件變化引起的像距變化量。比鈦合金的線膨脹系數小的材料，我們想到了殷鋼(invar)和碳纖維，但是殷鋼重量太大不利于工程應用，而碳纖維重量輕且線膨脹系數因方向不同而呈現負的和正的線膨脹系數。為了減小其影響效果，將軸向放大率大的兩反射鏡之間的鏡筒和第二面反射鏡到透鏡之間的鏡筒材料更換為某型號的碳纖維，其某一方向的線膨脹系數約為5×10-6/ ℃。此時計算結果與軟件仿真結果都顯示鏡筒材料的膨脹對系統焦距的影響還是更大一些，此時我們可以將剩余的口徑鏡筒材料更換為殷鋼，因為剩余部分系統的口徑較小，使用的材料也不多，重量增加不太大，得到了一個相對較好的支撐結構。

(a)20 ℃時系統的調制傳遞函數(a)MTF at 20 ℃

(b)0 ℃時系統的調制傳遞函數(b)MTF at 0 ℃

(c)40 ℃時系統的調制傳遞函數(c)MTF at 40 ℃圖6 原系統的調制傳遞函數Fig.6 MTF before optimization

在選定好支撐結構之后，開始通過更改玻璃組合來彌補剩余的熱差。在選擇玻璃時，盡量選擇相同的玻璃系，因為同系的玻璃折射率較為接近，阿貝數也變化不大，可以在保證系統參數變化不大的情況下改變消熱差系數。將透鏡的曲率半徑、厚度和透鏡之間的間隔也設為變量，從光焦度最大的玻璃入手，根據消熱差方程選擇玻璃材料，讓光學設計軟件自動優化，判斷優化結果，如不夠好則將優化后的數據帶入消熱差方程，繼續選擇玻璃材料。如此反復調整和優化，直至得到最優解。最后將本系統透鏡部分的第三塊玻璃K9更換為HK5，第五塊玻璃ZF3更換為HZF6，并適當調整其他透鏡的曲率半徑和間距可得無熱化設計結果。

優化之后的系統的傳遞函數曲線如圖7所示。從圖7可以看出經過我們優化的系統，在0～40 ℃的溫度范圍內，成像質量良好，具有很好的消熱差能力，光學傳遞函數曲線下降不到0.1，完全滿足設計要求中的大于0.3。

(a)20 ℃時系統的調制傳遞函數(a)MTF at 20 ℃

(b)0 ℃時系統的調制傳遞函數(b)MTF at 0 ℃

(c)40 ℃時系統的調制傳遞函數(c)MTF at 40 ℃圖7 優化后系統的調至傳遞函數Fig.7 MTF after optimization

4 結 論

本文根據航空相機希望獲得更高分辨率圖像的要求，提出了一種機載折反式可見光光學系統的光學被動式無熱設計。通過分析溫度變化時系統的光學元件與支撐材料對系統焦距的影響，針對折反式系統的特點，引入了元件間隔的軸向放大率這一概念，合理地體現了折反系統部分光學元件之間間隔變化對系統焦距影響大的事實。以此建立了消熱差方程來指導完成無熱化設計。軟件仿真結果表明，工作在486～656 nm波段，焦距為1 850 mm的機載折反式可見光光學系統，在0～40 ℃的溫度范圍內，系統光學傳遞函數曲線下降不到0.1，滿足成像要求。