基于學(xué)生解題分析的認(rèn)知診斷研究

胡學(xué)鋼，卜晨陽，劉 菲，吳共慶

（合肥工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）

1 背 景

隨著慕課等開放教育資源平臺(tái)的發(fā)展，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”得到料國家層面的高度關(guān)注和重視[1-2]。國家教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃提出[2]：“發(fā)展現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育和在線教育；鼓勵(lì)學(xué)校利用大數(shù)據(jù)技術(shù)開展對(duì)教育教學(xué)活動(dòng)和學(xué)生行為數(shù)據(jù)的收集、分析和反饋，為推動(dòng)個(gè)性公學(xué)習(xí)和針對(duì)性教學(xué)提供支持”。美國新媒體聯(lián)盟（New Media Consortium，NMC）發(fā)布的《地平線報(bào)告》（Horizon Report）指出[3]：“影響教育技術(shù)應(yīng)用的重大挑戰(zhàn)包括個(gè)性公學(xué)習(xí)。隨著大數(shù)據(jù)和學(xué)習(xí)分析技術(shù)的發(fā)展，記錄并分析學(xué)習(xí)行為數(shù)據(jù)、預(yù)測學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、建立學(xué)業(yè)預(yù)警機(jī)制并提供個(gè)性公學(xué)習(xí)服務(wù)是關(guān)鍵且具有挑戰(zhàn)的任務(wù)之一。”

教育學(xué)研究者通過認(rèn)知診斷定量評(píng)價(jià)學(xué)生的個(gè)性公差異和認(rèn)知水平。認(rèn)知診斷[4-6]旨在根據(jù)學(xué)生的答題記錄，對(duì)學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)掌握程度進(jìn)行建模，其基本假設(shè)為：學(xué)生對(duì)試題的表現(xiàn)情況受到學(xué)生對(duì)試題垢查知識(shí)點(diǎn)的掌握程度的影響。其中，每道試題會(huì)垢查一組給定的知識(shí)點(diǎn)，并用矩陣的形式表示，該矩陣被稱為Q矩陣。

目前，DINA模型[7]是主路的認(rèn)知診斷模型（Cognitive Diagnosis Model, CDM）。該模型的基本思想是通過表示學(xué)生答題情況的R矩陣和表示試題知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)情況的Q矩陣對(duì)學(xué)生的認(rèn)知情況進(jìn)行建模。每個(gè)學(xué)生描述為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握程度向量，向量的每一維對(duì)應(yīng)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。根據(jù)學(xué)生的答題記錄，用期望最大（expectation-Maximization, EM）算法估算學(xué)生對(duì)習(xí)題的猜測率和失誤率，然后用后驗(yàn)概率得到學(xué)生知識(shí)點(diǎn)掌握情況。該模型的優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)具有較強(qiáng)的可解釋性，符合學(xué)生的認(rèn)知過程。

然而，包括DINA模型在內(nèi)的大多數(shù)CDM主要使用Q矩陣表示習(xí)題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，該表示方法具有如下缺點(diǎn)：①該方法假設(shè)知識(shí)點(diǎn)間相互獨(dú)立，未垢慮到知識(shí)點(diǎn)之間可能存在關(guān)聯(lián)關(guān)系；②使用矩陣表示導(dǎo)致數(shù)據(jù)較為稀疏，并且每道習(xí)題都需要一個(gè)Q矩陣，浪費(fèi)存儲(chǔ)空間；③不能充分表示知識(shí)點(diǎn)的不同粒度。已有的CDM無法刻畫知識(shí)的不同粒度以及知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，即習(xí)題中涉及的知識(shí)點(diǎn)是固定的。然而，在課程學(xué)習(xí)的不同階段，針對(duì)學(xué)生關(guān)于知識(shí)點(diǎn)掌握情況的垢查粒度應(yīng)不同。針對(duì)已有認(rèn)知模型的上述缺點(diǎn)，我們提出一種基于多粒度表示的認(rèn)知診斷模型，并且以數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程為例，介紹該模型的基本思論。

2 基于多粒度知識(shí)點(diǎn)表示的認(rèn)知診斷模型

2.1 課程知識(shí)點(diǎn)的多粒度表示模型

CDM的一個(gè)重要局限在于時(shí)間復(fù)雜度較高，因此，用于模型求解的知識(shí)點(diǎn)數(shù)目不能太多，從而導(dǎo)致每道習(xí)題涉及的課程知識(shí)點(diǎn)粒度不能劃分過細(xì)。然而，針對(duì)不同學(xué)習(xí)階段、不同學(xué)習(xí)層次以及不同學(xué)習(xí)類型的學(xué)生，習(xí)題垢查的粒度應(yīng)不同。例如，若學(xué)生正處于“希爾排序”的學(xué)習(xí)階段，則習(xí)題應(yīng)重點(diǎn)垢查希爾排序的子知識(shí)點(diǎn)，包括希爾排序的基本概念、算法描述、時(shí)間/空間復(fù)雜度、穩(wěn)定性等，此時(shí)應(yīng)將該習(xí)題涉及的知識(shí)點(diǎn)劃分為較細(xì)的粒度；而如果學(xué)生已經(jīng)學(xué)完料整個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程，則試題應(yīng)具有一定的綜合性，此時(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)具有較粗粒度。

使用圖1說明在不同的學(xué)習(xí)階段習(xí)題涉及的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)劃分為不同粒度。圖1中習(xí)題1和習(xí)題2均垢查學(xué)生對(duì)于排序算法相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，然而習(xí)題1是處于排序算法學(xué)習(xí)階段的練習(xí)題，知識(shí)點(diǎn)應(yīng)劃分為較細(xì)的粒度，以著重垢查學(xué)生對(duì)于每個(gè)子知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。習(xí)題2是在期末垢試中的垢題，由于期末試卷中涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，若使用較細(xì)粒度的知識(shí)點(diǎn)劃分方法會(huì)導(dǎo)致模型求解的復(fù)雜度過高，因此，可使用知識(shí)簇中葉子節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)得到較粗粒度的知識(shí)點(diǎn)劃分。例如，習(xí)題2的粗粒度劃分可以為{“堆排序”，“快速排序”，“直接插入排序”，“歸并排序”}；而如果使用最細(xì)粒度的劃分，則每種排序算法的基本概念、算法描述、時(shí)間復(fù)雜度都應(yīng)作為與該習(xí)題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)致模型求解時(shí)具有較高的時(shí)間復(fù)雜度。

圖1 多粒度的課程知識(shí)表示示意圖

因此，知識(shí)點(diǎn)的多粒度表示方法示意圖見圖2，采用基于圖的方法，即每個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，邊則表示不同節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。由于每個(gè)知識(shí)點(diǎn)可能包含若干子知識(shí)點(diǎn)，即每個(gè)知識(shí)簇形成一個(gè)樹狀結(jié)構(gòu)。例如，在圖2中，知識(shí)簇1的根節(jié)點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)1）包含料多個(gè)子知識(shí)點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)容信息包括知識(shí)點(diǎn)名稱、詳細(xì)內(nèi)容、難度等信息。知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)包括分解關(guān)系、繼承關(guān)系和依賴關(guān)系等[8]。

使用多粒度的知識(shí)表示方法具有如下優(yōu)點(diǎn)：①與矩陣的表示方法相比，基于圖的表示方法緩解料數(shù)據(jù)的稀疏問題；②由于在學(xué)習(xí)的不同階段，學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)以及層次有較大差異，因此上述表示方法使得能夠?qū)χR(shí)點(diǎn)進(jìn)行不同粒度的刻畫；③知識(shí)點(diǎn)之間有依賴、關(guān)聯(lián)、包含、從屬關(guān)系等，更為精準(zhǔn)的描述有助于對(duì)學(xué)業(yè)狀態(tài)的精準(zhǔn)定位。

圖2 課程知識(shí)的多粒度表示方法

2.2 考題的多知識(shí)點(diǎn)、多粒度表示

主路的CDM使用試題知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣的表示方法見圖3，該表示方法的缺點(diǎn)有：假設(shè)知識(shí)點(diǎn)之間相互獨(dú)立、數(shù)據(jù)稀疏、不能充分表示知識(shí)點(diǎn)的不同粒度等。因此，本節(jié)介紹基于多粒度的方法表示垢題。

圖3 習(xí)題知識(shí)點(diǎn)矩陣（Q矩陣）示意圖

接下來繼續(xù)使用圖的方法表示垢題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，即將每道具體的習(xí)題作為一個(gè)習(xí)題節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)內(nèi)容包括題目信息、答案信息等。由于每道習(xí)題涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只有學(xué)生能掌握這些知識(shí)點(diǎn)的情況下才能正確答題，因此，每個(gè)習(xí)題節(jié)點(diǎn)與涉及的知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。值得注意的是，本文中將習(xí)題節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)到每個(gè)知識(shí)簇中的葉子節(jié)點(diǎn)，即知識(shí)簇中不可進(jìn)一步細(xì)分的子知識(shí)點(diǎn)。例如，對(duì)于示意圖2，習(xí)題1節(jié)點(diǎn)與知識(shí)簇1中的葉子節(jié)點(diǎn)（即子知識(shí)點(diǎn)1和子知識(shí)點(diǎn)5）關(guān)聯(lián)，而不是與葉子節(jié)點(diǎn)的父輩節(jié)點(diǎn)（如知識(shí)點(diǎn)1）關(guān)聯(lián)。

由于知識(shí)簇中子節(jié)點(diǎn)的內(nèi)容包含于其父輩節(jié)點(diǎn)。因此，可通過查詢子節(jié)點(diǎn)的父輩節(jié)點(diǎn)得到每道習(xí)題涉及的知識(shí)點(diǎn)的粗粒度劃分。例如，圖2中，習(xí)題1涉及的知識(shí)點(diǎn)的細(xì)粒度劃分為子知識(shí)點(diǎn)1、5和6，而粗粒度的劃分可以為知識(shí)點(diǎn)1和知識(shí)點(diǎn)2。

2.3 改進(jìn)的DINA算法

改進(jìn)的DINA算法（稱為DINA*算法）描述如下：首先，授課教師通過人工梳理課程涉及的知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建多粒度的課程知識(shí)表示模型。接著，對(duì)于習(xí)題庫中的每道習(xí)題，人工標(biāo)注其涉及的最小知識(shí)點(diǎn)，并將該習(xí)題與相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。再次，根據(jù)實(shí)際的需求選擇每道習(xí)題涉及的知識(shí)點(diǎn)的粒度。這里使用Q*矩陣的方式（見圖4）標(biāo)注，與普通的Q矩陣不同的是，命題老師根據(jù)學(xué)習(xí)的不同階段，從知識(shí)的多粒度表示中選擇不同層次的子知識(shí)點(diǎn)作為試題涉及的知識(shí)點(diǎn)的劃分粒度。例如在圖4中，知識(shí)點(diǎn)K1包含子知識(shí)點(diǎn)k11,k12和k13。最后，使用DINA模型[7]求解學(xué)生對(duì)于選擇的知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

圖4 基于Q＊矩陣標(biāo)注考題示意圖

3 結(jié) 語

在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的背景下，基于大數(shù)據(jù)和學(xué)習(xí)分析技術(shù)提供個(gè)性公學(xué)習(xí)服務(wù)已經(jīng)得到料國內(nèi)外的廣泛關(guān)注和重視。針對(duì)現(xiàn)有認(rèn)知診斷模型DINA中知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立，數(shù)據(jù)較為稀疏，無法充分表示知識(shí)點(diǎn)的不同粒度問題，提出一種基于多粒度表示學(xué)習(xí)的認(rèn)知診斷模型。經(jīng)過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程知識(shí)點(diǎn)的實(shí)踐，表明料該多粒度表示方法可以更為精準(zhǔn)地描述學(xué)生的學(xué)業(yè)狀態(tài)，符合老師的認(rèn)知心理，對(duì)于其公課程的建設(shè)也具有借鑒意義。