彈道導彈突防效能評估的馬爾科夫模型*

齊長興，畢義明，李 勇

（火箭軍工程大學，西安 710025）

0 引言

彈道導彈具有殺傷力巨大、突防能力強、難以防御等特點，是現代戰爭中能夠發揮決定性作用的殺手锏武器。為了防御彈道導彈的威脅，美國、俄羅斯、以色列等軍事強國都在積極研究和部署彈道導彈防御系統。其中，美國的彈道導彈防御系統（BMDS）是比較成熟的，已經形成了由中段攔截系統和末段攔截系統構成的多層彈道導彈防御體系［1-3］。

彈道導彈突防作戰效能評估是當前研究的一個重要方向，通過突防效能評估可以有效支撐彈道導彈研制和改良。目前，國內外對導彈突防效能評估研究已經取得了較大的進展，見文獻［4-14］。

彈道導彈攻防作戰中，存在許多隨機現象，導彈突防時的一些隨機現象無法很好地表現出來。本文綜合考慮彈道導彈突防作戰時面臨的彈道導彈防御系統多層攔截的現狀，在進行上一層防御系統效能評估的基礎上，再進行下一層的突防效能評估。導彈在突防每一層導彈防御系統時均為獨立過程，同時彈道導彈突防時突防狀態具有隨機性和無后效性等特點，經過相鄰兩層防御系統間的突防過程近似為馬爾科夫過程，可以用馬爾科夫理論進行多層防御系統的突防效能評估［15］。本文將馬爾科夫鏈轉移概率引入突防多層彈道導彈防御系統時導彈突防效能評估中，構建基于馬爾科夫鏈的導彈突防效能評估模型，用馬爾科夫鏈描述彈道導彈突防多層防御系統的作戰過程，突破一層防御系統后的狀態之間用狀態轉移概率進行關聯。通過實例進行驗證，該方法既可以反映彈道導彈突防的突防概率和期望值，也可以反映不同狀態的概率分布。

1 彈道導彈突防效能評估的馬爾科夫鏈模型

分層防御是針對彈道導彈的飛行階段特點，采用多層攔截模式，使彈道導彈在飛行過程中面臨多重風險。對于多個獨立的防御系統，構成的分層防御體系，能夠通過多次攔截實現高的攔截效能。分層防御中的“層”指可以進行獨立“觀察-射擊”的組成部分，每層有一枚或多枚攔截彈可攔截來襲目標。

為便于建模分析，在彈道導彈突防效能評估馬爾科夫鏈模型中需要進行以下假設：

1）每個交戰過程都是獨立進行的；

2）每次攔截過程都是相互獨立的；

3）在彈道導彈防御系統的每個層之間沒有進行交互干涉；

4）支持子系統可以滿足防御需求。

1.1 基本馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈模型［16］可以表示為一個二元組：。

I是所有可能狀態的集合，用Ii、Ij表示系統的狀態；P是系統狀態轉移矩陣，對有限狀態空間，其一步狀態轉移概率矩陣如下：

在狀態空間有限的情況下，n步狀態轉移概率矩陣 P（n）為：

1.2 單枚導彈突防多層防御系統馬爾科夫鏈模型

在彈道導彈突防過程中，每一次的交戰過程都可看作是一次伯努利試驗，多個交戰過程構成了一次突防，一個導彈防御層中所有的突防形成了一個馬爾科夫轉移矩陣，整個導彈突防過程是一個獨立時間馬爾科夫過程。

彈道導彈攻防模型中導彈的狀態用導彈突防數量表示，馬爾科夫攻防模型中所有來襲向量均為隨機概率向量，用以表示數量或狀態的概率分布，在進行模型求解時需要確定彈道導彈攻防對抗的初始狀態向量。

以一枚導彈突防兩層導彈防御體系為例，每一層防御系統僅一枚攔截彈對一個目標進行攔截，導彈突防馬爾科夫過程如圖1所示。

圖1 簡單多層防御馬爾科夫鏈模型示意圖

彈道導彈的狀態用成功突防后的數量表示，對單個目標，其可能的狀態分別為0、1，“0”表示不是威脅的狀態，“1”表示目標存活狀態（威脅），因此，其狀態變換共有3種情況，分別是0→0，1→0，1→1，其中，1→0表示來襲目標被攔截，1→1表示來襲目標未被攔截。

狀態轉移概率由攔截彈的單枚毀傷概率pi決定，且單枚導彈的生存概率qi=1-pi。

1.3 多枚導彈突防多層防御系統馬爾科夫鏈模型

多枚導彈突防導彈防御系統時，彈道導彈最大來襲數量為n枚，來襲導彈數為r時，通過i層導彈防御系統后有c枚成功突防的概率為prc，服從二項分布，其攔截矩陣為一個下三角矩型陣。

多枚導彈突防導彈防御系統時，第i層防御系統的攔截矩陣為：

1.4 誘餌掩護下，導彈突防效能分析

多枚導彈突防導彈防御系統時，彈道導彈最大來襲數量為n枚，來襲導彈數為r時，包含j個誘餌時，通過i層導彈防御系統后有c枚成功突防的概率為prc，服從二項分布，其攔截矩陣為一個下三角矩型陣。

彈道導彈突防過程中往往會伴隨著誘餌等假目標，如導彈防御系統不能準確識別目標的真假，將會提高導彈的突防成功率。在導彈防御系統進行目標識別時，共有4種情況：彈頭被準確識別為彈頭；彈頭被識別為誘餌；誘餌被識別為彈頭；誘餌被識別為誘餌。

在誘餌掩護作用下，導彈突防矩陣應綜合考慮彈頭被識別為誘餌的矩陣Dww，和轉移概率矩陣Aw，考慮到誘餌作用和識別誤差影響。r枚彈頭中成功突防c枚的概率prc依賴于兩個獨立事件。

事件1：r枚彈頭中有j枚被識別為誘餌，因而未被導彈防御系統攔截，能夠成功突防；

事件2：被攔截的彈頭中，有c-j枚彈頭成功突防。

以上兩種情況發生的概率為：

式中，pwd為彈頭識別為誘餌的概率，pww為彈頭被識別為彈頭的概率。

其中，fd為射擊準則。則r枚彈頭中成功突防c枚的概率prc為：

多枚導彈突防導彈防御系統時，第i層防御系統的攔截矩陣為：

2 彈道導彈突防效能評估案例分析

本文以彈道導彈突防雙層彈道導彈防御系統為例，采用建立的模型進行彈道導彈突防效能評估，為了便于計算進行一下假設：每次攔截時，攔截策略為每枚攔截彈攔截一枚來襲導彈（彈頭），不存在攔截彈數量不足的問題。

案例1：突防彈頭10枚，誘餌0，彈頭準確識別概率1，第1層單發攔截概率0.8，第2層單發攔截概率0.8，射擊準則1攔1。成功突防的彈頭的概率分布如表1所示。

案例2：突防彈頭10枚，誘餌10，彈頭準確識別概率0.9，彈頭識別為誘餌概率0.1，誘餌識別為彈頭的概率0.1，第1層單發攔截概率0.8，第2層單發攔截概率0.8，射擊準則1攔1，成功突防的彈頭概率分布如表2所示。

案例3：不同來襲彈頭數時，至少一枚成功突防（無誘餌干擾）。

突防彈頭n枚，誘餌0，彈頭準確識別概率1，各層單發攔截概率0.8，射擊準則1攔1，至少一枚成功突防的概率分布如表3所示，突防彈頭期望值如表4所示。

案例4：不同來襲彈頭數時，至少一枚成功突防（有誘餌干擾）。

突防彈頭n枚，誘餌10，彈頭準確識別概率0.9，各層單發攔截概率0.8，射擊準則1攔1，至少一枚成功突防的概率分布如表5所示，突防彈頭期望值如表6所示。

彈頭通過導彈防御系統后突防成功的彈頭分布概率對比圖見下頁圖2～圖4所示。

表1 成功突防的彈頭概率分布

表2 成功突防的彈頭概率分布

表3 至少一枚成功突防的概率

表4 多枚來襲彈頭時成功突防彈頭期望值

表5 至少一枚成功突防的概率

表6 多枚來襲彈頭時成功突防彈頭期望值

圖2 成功突防的彈頭概率分布圖

至少一枚彈頭成功突防的概率對比圖：

圖3 成功突防的彈頭概率分布圖

圖4 突防彈頭期望值

在案例1和案例2中，當進攻彈頭經過彈道導彈防御系統雙層防御后，彈頭突防概率迅速降低，彈道導彈突防多層防御時面臨嚴峻的威脅。在考慮誘餌干擾作用后，進攻彈頭全部被攔截的概率降低，且突防概率分布曲線整體向右移動，彈頭突防效能整體提升，與實際情況相符。

案例3和案例4中，當進攻彈頭數量變化時，對至少有一枚彈頭成功突防的概率和平均突防彈頭數（期望值）進行對比分析，隨著彈頭數量的增加，至少一枚彈頭成功突防的概率增加，且有誘餌干擾的作用下突防概率和期望值均高于無誘餌干擾時，突防效果更好，說明通過進行誘餌干擾可以提高彈道導彈的突防成功率。

3 結論

彈道導彈的自身性能是影響其突防能力的主要因素，此外，進攻導彈的突防戰術運用，彈道導彈防御系統的攔截能力、攔截策略等對彈道導彈突防效能有明顯的影響。

本文通過建立彈道導彈突防多層彈道導彈防御系統的馬爾科夫模型，進行彈道導彈突防效能評估，通過分析表明，該模型應用簡單，可以有效地對突防多層彈道導彈防御系統的導彈突防效能進行評估，為彈道導彈突防作戰決策提供理論支持。但是模型構建時，對一些因素進行了簡化，下一步還需要對模型進行進一步地完善，綜合考慮各方面的因素影響。