基于改進的GARCH模型對VaR風險研究

張健

摘 要：當前，GARCH模型普遍地被應用在金融資產序列波動性的預測，以及在險價值VaR的計算及市場風險管理中。針對股票市場的特點，采用將交易量與價格極差加入傳統的GARCH模型中的方法對上證綜合指數進行研究，發現不僅可以改善部分GARCH模型的擬合和預測結果，而且對于金融市場中標的資產的GARCH效應的解釋能力逐漸降低，甚至有些資產標的物GARCH效應直接消失了，其中交易量和價格極差作為重要代理變量在關于收益率波動持續性方面表現出良好的解釋作用，同時計算向前一步預測的在險價值VaR并對計算出的結果進行檢驗。實證研究表明，改進后的GARCH模型預測的VaR值相比于傳統的GARCH模型計算結果更加準確，降低了VaR失效的概率，使得預測得到的VaR值與實際結果更加接近。

關鍵詞：多元GARCH模型;交易量;價格極差;VaR

中圖分類號：F830 ? ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ?文章編號：1673-291X（2019）03-0078-06

經過長時間的研究發現，金融證券市場一般發生劇烈的震動之后，其后的波動依然是劇烈的震動，與之相同的是在較小變動之后，一般其后的變動也是較小的變動。一般將金融市場中這類能持續一段時間波動性變動的現象稱為波動的持續性[1]。Engle第一次提出ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，但是在該模型實際應用中發現需要滯后多階才能較好描述收益率異方差性[2]。因此在隨后的時間里，Bollerslev在這一理論的基礎上提出GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，能夠對證券市場波動特征做出了更好的擬合。理論解釋方面，Parkinson[3]以及Garman和Klass[4]等在研究中提出，用資產價格在一個時間段內最高價與最低價之差，可以更加有效估計金融資產波動率。Clark[5]及Tauchen等[6]提出投資者的多次交易使得交易量與兩方面信息流相關，一種是當前信息，另一種是已經存在的信息。還有Gallo通過對金融證券的實證研究之后發現，將交易量加入傳統模型中，可以對GARCH效應起到更好的解釋作用[7]。近幾年，人們開始對利用價格極差來建立波動率的模型產生了濃厚興趣。Alizadeh提出了一種利用極差估計波動率的方法，并在實證中發現相比于傳統方法，極差模型得到更好的估計效果。隨著金融證券市場的發展與我們的日常生活聯系越來越緊密，在險價值VaR也越來越被人們認可[8]。其中，Timotheos ?Angelidisa運用ARCH族模型計算五個股票指數的日風險價值，發現t分布能夠更好地預測在險價值VaR[9]。Mehmet Orhana利用兩個不同發展階段的金融市場的數據，對數據進行處理時發現，利用參數方法計算在險價值VaR時，在t分布下建模效果相比較與在標準正態分布假設下的建模效果要更好[10]。其中，在國內金融市場里面，孫便霞等利用價格極差，在傳統的GARCH模型基礎上構造出一種新的模型可以更好地刻畫波動率變化非對稱性的特點[11]。鄭文通首先對產生的背景、計算方法和在金融領域的應用進行了概括性研究，其主要目的在于強調我國引入模型進行風險管理的必要性[12]。楊繼平和袁璐提出了具有Markov結構轉換的非參數GARCH研究中國股市，在此基礎上對深證與上海兩個股市的VaR值進行計算同時進行評價[13]。本文基于以上研究，利用上海交易所的主板數據將交易量與價格極差同時加入GARCH模型，在學生t分布下計算在險價值VaR，最后進行檢驗與回測。

一、改進的GARCH模型與研究方法

（一）交易量與GARCH模型

根據混合分布假設，金融資產在某一時期內的綜合收益率分布是大量個別分布混合組合而成的。金融資產價格的每一次變動都是由于流向市場的信息流所導致的，交易才產生價格變動[14]，假設我們用Rt表示每次交易所發生的收益率累加，即：

式中，？啄it是t日第i筆交易的收益率，nt是當天的交易量，表示t日到達市場的信息量。假設？啄it獨立同分布，并且服從N（0，？滓2），因為？啄it與nt是隨機變量，所以Rt服從以nt為混合變量的正態分布的混合分布。因為？啄it～N（0，？滓2），且獨立分布。所以，當nt足夠大時，那么根據中心極限定理可以得到：

假設nt是一個自回歸過程，那么就可以表示為：

上式為具有AR形式的GARCH結構，與ARMA形式的GARCH條件方差相比只是存在形式上的差距，這一時間段到達的信息數量與金融資產收益率波動性有關。某一個時間段信息量越大，對不同的投資者而言就會有更多不同的決策選擇，那么參與投資的投資者就會更多，更多的投資者有意愿去參與投資。因此，可以把交易量作為GARCH模型中的代理變量。

（二）價格極差與GARCH模型

投資者通常會根據最高價、最低價、收盤價等信息，尤其是可以反映當日股價變動信息的K線圖，來判斷和計算收益率變動情況。但是，在建立模型時并沒有綜合考慮到收盤價以及價格極差對于對數收益率的影響。通過實證發現，在GARCH模型引入價格極差，可以對金融資產價格波動率更加有效地進行估計。

通常假定金融資產的價格Pt服從幾何布朗運動，把從t-1至t之間的時間段等分為n份，其中n×？駐t=1，當n足夠大的時候，則可以認為？駐t是很小的時間間隔，那么對數收益率就可以表示為：

在上述關于金融資產價格的假定下，可以近似地認為{rt，i，i=1，2，3…，n}是相互獨立的，將方差設定為D，那么，Var（rt|It-1）=n×D，It是關于金融價格的信息集合，那么在給定了信息集合It-1的情況下，金融資產收益率在t時刻的方差可以看成t-1至t中間無數很小時間間隔收益率方差之和。金融資產價格對數ln（Pt）是從t-1至t的時間段內資產標的物最高價減去最低價可以表示為：

Feller在1951年推導的價格差與波動率的關系是E（Rt|It）=1.5958，在1980年時，Paikinson對于該公式進行了改進，在數學公式上證明了最高價減去最低價的波動率代理變量的有效性比基于收盤價的傳統的度量方式大大提高。盡管僅僅依靠當天最高價和最低價無法計算出當日波動率，當天交易價格波動范圍能夠從當日最高價和最低價之間的價格極差反映出來。如果假設n=1，那么Paikinson的公式就變成？雖然在有效性上會有所下降，但是這一公式依然能夠說明價格極差可以作為波動率的代理變量。

因此，我們同時將交易量與價格極差作為重要的代理變量同時加入傳統的GARCH模型中，具體形式如下：

式中，Vt代表交易量，Rt代表價格極差，其中引入？酌Vt和？綴Rt，可以根據模型的實際形式進行調整，系數？墜和？茁之和代表著收益率波動的持續性，如果引入交易量和價格極差后，？墜和？茁之和與滯后項的階數發生變化，那么就可以說明交易量和價格極差在解釋條件方差的許多特性。

二、在險價值VaR的計算及回測

（一）VaR計算方法改進

VaR作為一種風險管理的辦法，評價有效性的標準是：金融資產的實際損失與VaR預期損失是否相符。在計算在險價值VaR時，依據金融資產收益率假定服從的概率分布，計算出的主要統計特征如：方差協方差、期望值等。GARCH模型通過對條件方差的估計，在正態分布，t分布，GED分布三種不同分布下，一定的置信水平和持有期間，計算出具有時變性的VaR，提高了在險價值VaR對金融資產價格變化的敏感性。在上文中我們把價格極差和交易量作為代理變量加入GARCH模型，改善了對條件方差的預測以及估計，使條件方差不僅包含了收盤價這個重要信息，更包含了在交易當日時間內價格波動的上限與下限以及交易信息對于收益率的影響。

在假定金融資產價格Pt服從幾何布朗運動的前提下，在信息集合It-1，收益率rt被認為服從正態分布，期望值為ut，方差為？。那么在t時刻，設股票持有期為1天，選擇置信區間為c，則從t至t+1時刻金融資產的在險價值VaR：

式中，z1-c表示在標準正態分布條件下置信水平為1-c所對應的分位數。在我國的股票市場中通常利用GARCH（1，1）模型就可以較好地刻畫金融資產波動變化的大部分特點。因此，對于t+1時刻的波動率的預測是ht+1|t=a0+？墜1e+？茁1h1;那么在t+1時刻VaR值則表示為：

那么對于改進之后的GARCH（1，1）模型，對于下一期t+1時刻的波動率預測為ht+1|t=a0+？墜1e？茁1h1+？酌Vt+？綴Rt，收益率期望值u1的預測不變，那么在險價值VaR在t+1時刻的估計值是：

對于這種VaR計算方法，可以通過回測檢驗進行評價，評價引入交易量信息以及價格極差之后的GARCH模型是否提高條件方差估計精度。

（二）在險價值VaR回測

回測檢驗，也被稱為事后檢驗，即用一段時期的實際損失與預期損失相比較，觀察兩者是否一致。VaR回測檢驗可以為各類金融機構的管理者提供關于VaR風險管理系統的信息，可以讓管理者發現回測系統存在問題以及可以改進的方向。

目前，在險價值VaR的檢驗有幾種主要的方法：一是指標評價工具，比如MRB均值相對偏差、RMSRB均值平方根相對偏差以及各種變形;二是假設檢驗工具，如Kupiec[15]經典以及各種特殊條件下的似然比檢驗;三是比較評價工具，Lopez根據不同需要構造合適的損失函數。本文將價格極差與交易量作為重要的影響因子引入到傳統的GARCH模型中，并計算和檢驗這種改進是否提高了VaR的準確性。因此，在簡單GARCH模型與改進后的GARCH模型計算出VaR進行比較時，首先需要考慮的是準確性。所以，本文釆用假設檢驗工具，利用Kupiec似然比檢驗法進行回測檢驗。

參數方法計算VaR值是在確定一個置信水平c的條件下得出的，如果金融資產標的物的收益率落在概率分布中VaR值的右側，即實際收益小于最大可能遭受的損失VaR值，則認為估計出的在險價值VaR是有效的;如果收益率落在概率分布中VaR的左側，即實際收益大于最大可能遭受的VaR，那么VaR失效。設樣本容量為N，通過對金融資產的每個收益率與VaR預測值進行比較，統計失敗的樣本數目為n，得出失敗的概率P=n/N。在VaR有效的情況下，失敗的概率為1-c。Kupiec在統計上對上述問題進行了規范定義，設定原假設為H0：P=P*=1-c，那么備擇假設為H1：P≠P*。在樣本數目為N的每個樣本進行檢驗時，可以認為每個數據之間是相互獨立的，失敗（即實際收益率大于最大可能遭受損失）的概率為P，與之相對應成功的概率為1-P。這種檢驗被看作為服從二項分布的貝努力試驗，失敗次數為n的概率表示為：

其中，c=1-P*，在原假設是真的情形下，LR服從自由度為1的？字2分布。在給定的樣本數N的情況下，VaR失效（即實際收益大于最大可能遭受的VaR）次數n為非拒絕區域。

三、實證分析

（一）數據選取

在計算在險價值VaR時，本文選取了上證綜合指數一共2 630數據，其中包含了收盤價、交易量、最高價和最低價，數據源于雅虎財經。

（二）數據處理

在金融實證研究中，一般并不直接對價格序列進行建模，股票市場的收盤價和交易量是一階單整的，因而釆用取對數的方法對金融資產價格序列的數據進行處理，獲得對數收益率，如下所示：

當日最高價減去最低價稱之為價格極差，同樣也要經過自然對數處理，具體如下式所示：

其中，Pt，h為一天之內最高價，Pt，j是一天之內最低價。從收益率與價格極差的具體計算公式中能夠看出，二者在計算形式上具有相似性，都是兩個價格自然對數之差。交易量我們為了避免由于政策等一些因素影響，所以將交易量也進行處理。針對中國股市的特點，我們采用交易量增長率Vt，來刻畫每日交易量vt的變化：

（三）數據分析

上證綜合指數價格指數分析（見圖1），上證綜合指數價格收益率分析（見下頁圖2）。從圖1和圖2中可以概括出收益率的變動具有兩個顯著特征：一是波動聚集性，即波動具有慣性，較大的波動和較小的波動往往都是成群出現的;二是杠桿效應，也就是股票收益率序列向上波動和向下波動的幅度并不一致。也就是說，股票收益率對市場中的“壞”消息和“好”消息沖擊的反應是不同的。

（四）數據統計描述分析

為了對數據的收益率，價格極差與交易量增長率有更直觀的認識采用描述統計的方法，從均值、標準差、最大值、最小值、中值、偏度、峰度、J-B統計量等方面對數據進行初步分析（見表1）。

從表1中我們能夠看出偏度、峰度與J-B統計量等一些統計數據，也檢驗了樣本數據的正態性。從J-B統計量的P值可以看出，上證綜合指數的收益率拒絕了無條件正態分布的原假設。

（四）模型分析

通過閱讀文獻[16]，用學生t分布作為收益率的條件分布可以得到更好的擬合效果。我們應用GARCH（1，1）模型和改進后的GARCH（1，1）模型，在t分布情況下，進行實證分析（見下頁表2）。

從表2中我們可以發現，在t分布情況下，改進后的GARCH（1，1）模型中的系數？墜1+？茁1的值顯著減小，傳統GARCH模型中？墜1+？茁1的值近似于1，而改進之后的GARCH模型？墜1+？茁1的值遠遠小于1，交易量和價格極差系數的估計值全部為正。在將交易量和價格極差作為重要影響因子加入條件方差方程中之后，交易量和價格極差對于收益波動持續性表現出良好的解釋作用。以AIC和SC最小信息損失準則為評價標準，那么可以看出改進后的GARCH（1，1）模型可以更好地描述上證綜合指數的收益率變化情形。

（五）VaR的回測檢驗

在進行Kupiec似然比檢驗之前，首先要對兩種辦法計算出來的VaR與實際收益率相比，計算出失效概率P，具體結果（見表3）。

在與實際的收益率比較中，統計失效次數計算的失效概率都小于0.05，沒有超出置信水平，因此可以認為GARCH（1，1）模型與改進后的GARCH（1，1）模型，條件方差擬合良好，預測的在險價值VaR是有效的。

假定對VaR模型有效性檢驗的置信水平是95，那么根據Kupiec的似然比計算公式，LR近似服從自由度為1的？字2分布，對上證綜合指數的失效概率計算對應的似然比。

在置信水平為95%情形下，自由度為1的？字2分布對應的分位數為3.841，改進后的GARCH（1，1）模型的VaR對應的LR都大于3.841，拒絕了原假設。在Kupiec似然比檢驗法中，備擇假設為H1：P≠P*，分為P>P*和P<P*兩種情況，因為改進后的GARCH（1，1）模型失效概率均小于1-c（0.05），所以接受備擇假設中P<P*情況，即失效概率小于VaR允許的統計概率。

四、結語

本文選取了上證綜合指數2 630個數據，利用GARCH模型和引入交易量和價格極差的GARCH模型估計出的條件方差，計算在險價值VaR，經過回測檢驗，價格極差與交易量作為重要信息引入，降低了VaR失效的概率，使得估計得到的VaR與實際結果更為接近，結果更為理想。

參考文獻：

[1] ?Rusy S.Tsay.金融時間序列分析[M].北京：人民郵電出版社，2012：95-121.

[2] ?Robert F.Engle.Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation[J].Economrteica，1982，（4）：987-1007.

[3] ?Garman M.B.，Klass M.J.On the estimation of security price volatilities from historical data[J].Journal of Business，1980，（53）：61-65.

[4] ?Parkinson M.The extreme value method for estimating the variance of rate of return[J].Journal of Business，1980，（53）：61-65.

[5] ?Clark P.K.A subordinated stochastic process model with finite variances for speculative prices[J].Economrteica，1973，（41）：135-136.

[6] ?Tauchen G.，Pitts M.The price variability-volume relationship on speculative markets[J].Economrteica，1983，（51）：485-505.

[7] ?Gallo G.，Pacini.The effect of trading activity on market volatility[J].The European Journal of Finance，2000，（6）：163-175.

[8] ?Alizadeh S.，Brandt M W，and Diebold F X.Range-based estimation of stochastic volatility models[J].Journal of Finance，2002，（57）：1047-1092.

[9] ?Timotheos Angelidisa，Alexandros Benosa.The use of GARCH models in VaR estimation[J].Statistical Methodology，2004，（1）：105-108.

[10] ?Mehmet Orhana，Bulent Koksal.A comparison of GARCH models for VaR estimation[J].Expert Systems with Applications，2012，（39）：3582-3592.

[11] ?孫便霞，王明進.基于價格極差的GARCH模型[J].數理統計與管理，2013，（2）：259-267.

[12] ?鄭文通.金融風險管理的VaR法及其應用[J].國際金融研究，1999，（9）：58-62.

[13] ?楊繼平，袁璐，等.基于結構轉換非參數GARCH模型的VaR估計[J].管理科學學報，2014，（17）：69-80.

[14] ?楊炘，王邦宜.交易量與股價波動性：對中國市場的實證研究[J].系統工程學報，2005，（5）：530-534.

[15] ?Kupiec H.P.Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models[J].Journal of Derivatives，1995，（3）：73-84.

[16] ?Peng H.，Lu Z.Nonlinear analysis of finance systems：Exploring the nonlinear impact of the trading volume on the price volatility[J].Journal of Systems Science and Mathematical Science，2009，（11）：1527-1541.

Abstract：Currently，the GARCH model is widely used in the prediction of the volatility of financial asset sequences and the calculation of VaR at risk and market risk management.According to the characteristics of the stock market，using the method of adding the trading volume and price range difference to the traditional GARCH model to study the Shanghai Composite Index，we found that not only the fitting and forecasting results of some GARCH models can be improved，but also the assets of the underlying financial market.The GARCH effects explanatory ability gradually decreases and even some asset objects GARCH effect disappears directly.Among them，the trading volume and price difference show a good explanation for the persistence of the yield volatility.At the same time，the VaR value of the forward one step prediction is calculated and calculated.The results are backtested.The results show that the VaR value predicted by the improved GARCH model is more accurate than the traditional GARCH model，reducing the probability of VaR failure and making the estimated VaR closer to the actual results.

Key words：multivariate GARCH model;trading volume;price difference;VaR