高考中與圓相關(guān)的最值問題

趙志巖

(遼寧省撫順市新賓滿族自治縣高級(jí)中學(xué) 113200)

一、已知含參數(shù)直線與圓位置關(guān)系，求直線方程中參數(shù)取值范圍問題

畫出圓，利用直線過定點(diǎn)，結(jié)合圖形即可確定直線方程中滿足的條件，利用直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式，列出關(guān)于參數(shù)的不等式或方程，即可求出參數(shù)的范圍.

點(diǎn)評(píng)對已知直線與圓或可化為圓的曲線的位置關(guān)系求參數(shù)范圍問題，數(shù)形結(jié)合是尋找解題思路的關(guān)鍵，要熟悉直線與圓的位置關(guān)系的判定，正確運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式.

二、已知點(diǎn)滿足與圓有關(guān)的某個(gè)條件，求圓中參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍問題

作出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想找出圓中相關(guān)量，如圓心坐標(biāo)、圓心到某點(diǎn)距離、圓的半徑、圓的弦長或圓的弦心距等滿足的條件，列出不等式或方程或函數(shù)關(guān)系，再利用相關(guān)方法求出參數(shù)的范圍.

例2 設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是( ).

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想，解決本問題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合找出點(diǎn)M滿足的條件.

三、與距離有關(guān)的最值問題

在運(yùn)動(dòng)變化中，動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化，在變化過程中，就會(huì)出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點(diǎn)到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線兩動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問題、過定點(diǎn)的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識(shí)或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的方法求解.與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型：

①圓外一點(diǎn)A到圓上距離最近為|AO|-r，最遠(yuǎn)為|AO|+r；

②過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長為圓的直徑，最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；

③直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為d+r，最近距離為d-r；

④過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積;

⑤圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線上動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問題常轉(zhuǎn)化為圓心與曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離問題，利用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的最值問題，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題求解.

點(diǎn)評(píng)對于與圓有關(guān)的長度最值問題，要掌握相關(guān)題型與轉(zhuǎn)化方法，利用幾何法或函數(shù)法求出最值.

四、與面積相關(guān)的最值問題

與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

A．有最大值8π B．有最小值2π

C．有最小值3π D．有最小值4π

∴Smin=πr2=4π.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想是解題的關(guān)鍵.

五、圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式的最值或取值范圍問題

本類問題有三種解題思路，思路1：充分利用所給式子的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解題；思路2：設(shè)所給式子等于z，代入圓的方程化為一元二次方程，利用判別式即可求出參數(shù)的范圍；思路3：利用圓的參數(shù)方程或消元法化為函數(shù)問題，利用函數(shù)求最值的方法求最值,注意變量的取值范圍.

綜上所述，解決與圓相關(guān)的最值問題的關(guān)鍵要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何知識(shí)求最值，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.

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