期權(quán)定價(jià)模型與隨機(jī)波動(dòng)

羅雅沁

摘 要：隨機(jī)波動(dòng)率的主要思路是將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率描述為一個(gè)由價(jià)格水平、波動(dòng)率均值回歸趨勢(shì)和波動(dòng)率方差控制的隨機(jī)過(guò)程。它考慮到了期權(quán)定價(jià)中的不確定性因素，讓定價(jià)更具代表性，與實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格相擬合。

一、引言

通過(guò)多個(gè)貼近市場(chǎng)模型的具體實(shí)現(xiàn)提供了一種新的期權(quán)定價(jià)解決思路，即使市場(chǎng)參與者沒(méi)有獲得期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格的渠道，抑或在流動(dòng)性不夠充裕的情況下，也可以按照標(biāo)的實(shí)時(shí)價(jià)格通過(guò)本文提及的模型計(jì)算相對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格作為參與市場(chǎng)的參考。最主要的是，考慮到資產(chǎn)價(jià)格回報(bào)的諸多特點(diǎn)，隨機(jī)波動(dòng)率類模型的引入克服了以往期權(quán)定價(jià)的諸多不足。

二、Black-Scholes模型

隨機(jī)波動(dòng)率實(shí)質(zhì)上就是跳出了傳統(tǒng)金融市場(chǎng)以一定時(shí)期內(nèi)波動(dòng)率作為恒定參數(shù)考慮市場(chǎng)的框架，而認(rèn)為波動(dòng)率本身是隨著價(jià)格變化而變化的，這一變化過(guò)程符合隨機(jī)過(guò)程。在當(dāng)前的金融市場(chǎng)，因?yàn)樵擃惸Ｐ涂紤]的因素更多、理論基礎(chǔ)更為嚴(yán)謹(jǐn)而受到不少投資者的關(guān)注。

雖然Black-Scholes模型通過(guò)隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)期權(quán)定價(jià)（某些寬松的假設(shè)實(shí)質(zhì)上在交易過(guò)程中也是可以被接受的），也將影響期權(quán)權(quán)力的波動(dòng)率及分布概率等問(wèn)題引入到整個(gè)評(píng)估體系中，但當(dāng)時(shí)還有諸多尚未解決的問(wèn)題，其中一個(gè)重要的不足之處在于它對(duì)于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格回報(bào)恒定波動(dòng)率（以及其波動(dòng)率不受價(jià)格變化影響）的假設(shè)。這種假設(shè)意味著使用期權(quán)的對(duì)沖者要不斷地對(duì)波動(dòng)率假設(shè)進(jìn)行調(diào)整來(lái)反映實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致了對(duì)沖比例的不斷變化，也導(dǎo)致了傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型無(wú)法對(duì)隱含波動(dòng)率的一些固有特性給予合理的解釋。在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，Black-Scholes模型給出的期權(quán)理論定價(jià)也比較難吻合觀察到的期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格。

Black-Scholes模型根據(jù)當(dāng)前標(biāo)的價(jià)格和靜態(tài)波動(dòng)率來(lái)得到當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格，存在著一些難以克服的缺陷，比如說(shuō)假設(shè)股票價(jià)格的收益率是遵循一個(gè)固定的均值和方差的正態(tài)分布等。但是在實(shí)證中我們發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率事實(shí)上隨時(shí)間變化有一個(gè)集聚過(guò)程，這與Black-Scholes模型假設(shè)有極大的出入。另外金融界與學(xué)術(shù)界也意識(shí)到金融價(jià)格時(shí)間序列的分布形態(tài)明顯體現(xiàn)出尖峰厚尾的回報(bào)特點(diǎn)，也即是說(shuō)市場(chǎng)的尾部風(fēng)險(xiǎn)較高，這實(shí)質(zhì)上是期權(quán)定價(jià)中一個(gè)明顯的溢價(jià)因素，且不能被固定波動(dòng)率的假設(shè)所捕捉。除此之外，金融價(jià)格時(shí)間序列中波動(dòng)率偏離后均值復(fù)歸的特點(diǎn)也是Black-Scholes模型無(wú)法刻畫的難點(diǎn)。在期權(quán)市場(chǎng)的實(shí)際交易中隱含波動(dòng)率往往呈現(xiàn)波動(dòng)率微笑形態(tài)，隨著執(zhí)行價(jià)格不同位置的變化，期權(quán)反推的隱含波動(dòng)率并不一致。

三、Hull-White模型

Hull和White（1987）提出了一個(gè)期權(quán)定價(jià)模型，在該模型中有兩個(gè)不確定來(lái)源，即資產(chǎn)價(jià)格未來(lái)軌跡和波動(dòng)率的未來(lái)軌跡。在上述參數(shù)化過(guò)程中，波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格設(shè)定為0，。這一假設(shè)意味著波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)不存在風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。與此相反，Heston（1993）已經(jīng)引入了一個(gè)具有非零波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的閉式模型。

Hull-White模型考慮到了期權(quán)價(jià)格波動(dòng)率的相關(guān)系數(shù)和波動(dòng)率（波動(dòng)率的波動(dòng)率）的影響。波動(dòng)率的波動(dòng)率較高意味著收益的風(fēng)險(xiǎn)中性分布顯示出較高的峰度。對(duì)該模型來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)最大限度的盈利和虧損比資產(chǎn)價(jià)格遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布的Black-Scholes模型可能性更大。當(dāng)收益沖擊和波動(dòng)率沖擊之間的相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性分布是對(duì)稱的、尾肥的。相關(guān)系數(shù)的符號(hào)決定了分布的對(duì)稱性。考慮到相關(guān)系數(shù)為負(fù)的實(shí)證相關(guān)案例，收益風(fēng)險(xiǎn)中性分布的左尾比右尾包含更多的機(jī)率質(zhì)量。正如Abken和Nandi（1996）討論的一樣，負(fù)偏斜性對(duì)定價(jià)有影響： B-S定價(jià)模型對(duì)價(jià)外看漲期權(quán)定價(jià)過(guò)高。

為使參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可行，像Hull和White（1988）模型中一樣，我們運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開。假定時(shí)刻t的方差為其長(zhǎng)期均值V=-a/b且未來(lái)軌跡由方程（6）說(shuō)明。在Hull和White（1988）模型中，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格可用和來(lái)決定。

其中是相應(yīng)的B-S模型價(jià)格。Hull和White（1988）模型導(dǎo)出了因子且決定了B-S模型價(jià)格的誤差。對(duì)于該模型參數(shù)的估計(jì)，我們采用模擬退火法使SRPE（as outlined earlier）最小化.該過(guò)程表現(xiàn)出比標(biāo)準(zhǔn)算法更優(yōu)的最佳收斂性。

四、總結(jié)

總的來(lái)說(shuō)我們斷定模型的效能與所采用的功能函數(shù)密切相關(guān)。盡管BS模型的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的相符性較好，但是它對(duì)期權(quán)收益分布兩端的預(yù)測(cè)精度較低。我們討論了這些結(jié)果的分歧并認(rèn)為對(duì)VaR預(yù)測(cè)而言，基本的條件正態(tài)假定是有問(wèn)題的。

對(duì)于今后的研究，運(yùn)用厚尾分布（例如學(xué)生氏t分布）來(lái)指定基本定價(jià)方法前景廣闊。那是期權(quán)定價(jià)模型就從應(yīng)用條件正態(tài)分布的BS模型延伸到了采用條件t分布的模型。

最后，隨著業(yè)界對(duì)期權(quán)隱含波動(dòng)率變化了解的加深，從形狀特點(diǎn)入手解決期權(quán)問(wèn)題的思路也是大勢(shì)所趨。從波動(dòng)率曲面來(lái)看，我們可以通過(guò)分析期限結(jié)構(gòu)和波動(dòng)率偏離來(lái)指導(dǎo)我們對(duì)市場(chǎng)方向性的判斷，關(guān)于波動(dòng)率曲面的深入研究，不論是對(duì)期權(quán)本身特性的了解，還是對(duì)發(fā)現(xiàn)潛在套利機(jī)會(huì)以及制訂交易策略，都有著重要的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 《期貨日?qǐng)?bào)》

[2] 百度百科——https：//baike.baidu.com/item/期權(quán)定價(jià)模型/6333213？fr=Aladdin