淺析數(shù)學(xué)思想在高中解題中的應(yīng)用

張?jiān)待?/p>

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，高中試題十分重視對(duì)數(shù)學(xué)思想及其方法的考查。因此，在高中數(shù)學(xué)的解題中重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和運(yùn)用是十分必要的。本文討論了數(shù)形結(jié)合、分類談?wù)摗⒑瘮?shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想等思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)方程 數(shù)形結(jié)合 分類討論 等價(jià)轉(zhuǎn)化

1.函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想是數(shù)學(xué)研究中最基本的思想之一，分為函數(shù)思想和方程思想，二者之間相互聯(lián)系，共同為解答高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容提供思路，像求解函數(shù)最值，不等式方程以及參數(shù)討論的問題都會(huì)用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要是利用基本的初等函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性，周期性和相關(guān)的函數(shù)圖像等）來求解問題，某個(gè)函數(shù)所展現(xiàn)的便是自變量與因變量的變動(dòng)過程，給定一個(gè)，便有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，因此其核心思想便是運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用此觀念來建立函數(shù)關(guān)系，使抽象的問題變得更為直觀、形象，從而為解決問題提供嶄新的思路；與之不同的是，方程思想主要考慮等量之間的關(guān)系，通過求解方程和方程組的解來解決問題。函數(shù)與方程在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于某個(gè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程，也可以把函數(shù)式看作方程。

例1.1，設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解析：按照常規(guī)解法，容易將題目化簡(jiǎn)為，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，這樣的運(yùn)算是很復(fù)雜的。我們換一個(gè)角度來思考這個(gè)問題，把看作變量，看為常數(shù)，記，原命題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足時(shí)參數(shù)應(yīng)該滿足的條件。

2.數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，空間形式便是我們常說的“形”，用在高中數(shù)學(xué)上面多是指函數(shù)的圖像；而數(shù)量關(guān)系便是和“數(shù)”有關(guān)的所有抽象內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)便是將難理解的抽象語言用圖形的方式描繪出來，能夠更加直觀的展示所求解問題的性質(zhì)，將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過“數(shù)”更好地解釋形，數(shù)形結(jié)合，即可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，又可以開拓思維。也可把某個(gè)不規(guī)則或者復(fù)雜的圖形用“數(shù)”的方式描述出來，像某些分段函數(shù)或者多個(gè)函數(shù)結(jié)合在一起的圖形，直接分析可能會(huì)比較麻煩，用基本的數(shù)學(xué)語言分段描述圖形的每一部分有助于我們得分析與理解。數(shù)形結(jié)合思想常被用來求解以下類型的數(shù)學(xué)問題。

（1）求解集合問題。可以利用數(shù)軸圖像處理一些集合中的參數(shù)取值范圍問題，例如：已知若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。利用數(shù)軸圖像，可得出參數(shù)的取值范圍需要滿足：，求解即可打出答案。

（2）求解函數(shù)問題?？山Y(jié)合具體的函數(shù)圖像，求解常見的二次函數(shù)區(qū)間求值問題，函數(shù)零值以及討論參數(shù)取值范圍等問題。例如，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)和在定義域內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

3.分類討論的思想

分類討論思想即是講一個(gè)不好求解的比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，按照給定的基礎(chǔ)條件進(jìn)行分類，進(jìn)而分解為幾個(gè)基礎(chǔ)性問題，進(jìn)而求解原問題。分類討論思想最主要的是分類，通過比較問題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，找到適合分類的基點(diǎn)所在，根據(jù)具體的取值范圍或者函數(shù)圖像進(jìn)行分類。在分類討論時(shí)，必須要掌握分類的基本方法：不重不漏、逐條逐類。高中里邊，常見的數(shù)學(xué)分類問題有：（1）數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和法則引起的分類討論：如絕對(duì)值和不等式的定義、集合的概念、數(shù)列的概念等。例如：集合，就要討論集合和兩種不同的情況；的取值就要分為三種來求解；等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，分為兩種情況。（2）函數(shù)圖像位置的不確定性回憶起討論：如二次函數(shù)，值的不確定需要根據(jù)函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸的不確定性可能會(huì)引起函數(shù)位置的不同，可能在軸左邊，也可能在右邊。（3）含有參數(shù)的分類討論：參數(shù)的取值不同可能會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果。如，解不等式時(shí)，必須分為三種情況討論。

4.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化即是把高中數(shù)學(xué)題目中很難著手的問題轉(zhuǎn)化為我們耳熟能詳?shù)囊阎獑栴}的過程，把未知的轉(zhuǎn)化為已知，化簡(jiǎn)為繁，轉(zhuǎn)化的過程中一定要注意等價(jià)關(guān)系，必須把轉(zhuǎn)化的因果關(guān)系記清楚。等價(jià)轉(zhuǎn)化的常見方法有（1）普通語言向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，例如，求一個(gè)西瓜切九刀，最多可切成多少塊。單憑想象的話，易知切一刀最多兩塊，兩刀四塊，三刀八塊，再往后可能會(huì)因?yàn)閳D形的復(fù)雜而計(jì)算錯(cuò)誤，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，將原題轉(zhuǎn)化為平面分割空間，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線分割平面，點(diǎn)分割直線的問題，再找到其中的不同，便可求解原題。（2）原命題與逆否命題的轉(zhuǎn)化，求解原命題比較困難的時(shí)候轉(zhuǎn)化為求解其逆否命題。例，求證若，則。直接求解顯然不太容易，可轉(zhuǎn)化為求解若，則，逆否命題很容易得出為真命題，則原命題也為真。

結(jié) 論

數(shù)學(xué)思想方位是前人通過不斷地實(shí)踐積累出來的寶貴財(cái)富，數(shù)學(xué)問題的求解就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，靈活地運(yùn)用各種思想有助于我們便捷準(zhǔn)確的得出答案。