基于Excel的水工碾壓式瀝青混凝土骨料合成級配計算

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(1.西藏大唐扎拉水電開發(fā)有限公司，西藏 昌都 854000； 2.中國人民武裝警察部隊 水電第八支隊，重慶 巴南 401347)

水工瀝青混凝土的理論、試驗方法源于并發(fā)展于交通工程，結(jié)合水利工程自身特點，近幾年在計算理論、試驗方法等方面發(fā)展較快，逐步完善了水工碾壓式瀝青混凝土的理論實踐體系。水工碾壓式瀝青混凝土在配合比設(shè)計中，主要確定瀝青用量和骨料級配兩個主要參數(shù)。與瀝青用量相比，骨料級配確定方法較為復(fù)雜，一種方法是在推薦級配范圍內(nèi)選擇一條或幾條級配曲線作為骨料的標準級配；另一種方法是采用丁樸榮公式計算得到骨料的標準級配。在實際應(yīng)用中，較多采用丁樸榮公式確定骨料的標準級配，即初步選定的標準級配，與不同瀝青用量組合，再經(jīng)室內(nèi)試驗，最終確定用于后續(xù)試驗及現(xiàn)場施工用的目標配比及目標級配。

在實際瀝青混合料配合比設(shè)計中，人工加工的各種骨料的級配往往很難完全符合某一級配的范圍。通常采用兩種或兩種以上的集料配合起來才能滿足級配要求，這就需要對骨料合成級配進行設(shè)計和計算，即確定組成混合料各集料的比例。傳統(tǒng)的骨料配比設(shè)計方法比較多，主要有圖解法、試算法、電算法等。其中，圖解法和試算法應(yīng)用較多，但這兩種方法主要通過手工完成，工作量非常大，出錯率高，精度低，且很難得到最佳的配合比方案[1]。隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展，利用計算機解決工程中的數(shù)學(xué)問題已不是一件難事，常用的方法有線性規(guī)劃法、多目標優(yōu)化等方法，可以利用Excel、MATLAB等專業(yè)數(shù)學(xué)工具進行計算。

1 骨料級配合成數(shù)學(xué)模型的建立及求解

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

假定瀝青混合料中骨料由m種不同粒徑的粗細骨料(含填料)合成而來，級配分析中共有n級篩孔，任一粒徑骨料i在篩孔j通過率為pij，目標級配中任何一級篩孔的通過百分率為qj，其值為通過丁氏公式計算，并經(jīng)室內(nèi)配合比試驗確定的目標配合比級配，見表1。

表1 瀝青混合料級配表

在理想狀態(tài)下，qj的值是由各種集料在該級篩孔的通過百分率pij乘以各種集料在混合料中的用量x之和，見式(1)，該式即為骨料合成級配計算的數(shù)學(xué)模型[2]。

∑pijxi=qj

(1)

式中：i為集料種類，i=1，2，…，m；j為篩孔數(shù)，j=1，2，…，n。

式(1)可寫成線性方程組的形式：

(2)

把式(2)中系數(shù)矩陣記為A，右端向量為q，則有：

Ax=q

(3)

1.2 數(shù)學(xué)模型的求解

對于式(3)的求解可以采用線性規(guī)劃的方法，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為求解最優(yōu)問題，用優(yōu)化算法進行求解。在骨料合成級配計算中，一般采用四五種不同粒徑骨料，而篩孔級數(shù)多達十余種，以致式(3)約束方程個數(shù)遠大于未知數(shù)的個數(shù)。線性規(guī)劃方法其實質(zhì)就是求解正規(guī)方程組，因不同粒徑骨料在各篩的通過率對合成級配影響也較大，往往導(dǎo)致該方程組無解，故該方法在應(yīng)用中沒有太多的實際意義。而將式(3)轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)問題，在理想狀況下合成級配與目標級配二者之間完全吻合，即:

pijxi-qj=0

(4)

由于受各集料級配所限，式(4)一般無精確解答。通常情況下，設(shè)計級配與合成級配之間總存在一定偏差，即：

pijxi-qj=△j

(5)

△j為合成級配與設(shè)計級配在第j篩孔通過率之差。在這里構(gòu)造函數(shù)Q(xi)如下：

(6)

式(6)中Q(xi)越小，合成級配與目標級配之間的偏差就越小，可以通過求Q(xi)的極小點和極小值的辦法求出各集料的配比xi，并使xi≥0，∑xi=1。合成級配的計算可轉(zhuǎn)化為求式(7)的約束極值問題[3]。

(7)

2 基于Excel求解實現(xiàn)

2.1 應(yīng)用實例

某水利樞紐工程瀝青混凝土配合比采用礦粉用量12%、最大粒徑19 mm，級配指數(shù)n為0.4的目標配比，經(jīng)丁氏公式計算的目標級配見表1。瀝青混凝土拌和樓骨料采用4種骨料及填料拌制瀝青混凝土，即大石、中石、小石、砂及礦粉，某次經(jīng)拌和樓二次篩分系統(tǒng)篩分后骨料取樣的級配見表2。

表2 骨料篩分結(jié)果統(tǒng)計表

2.2 用Excel的求解過程

用Excel對最優(yōu)問題求解，利用Excel軟件中數(shù)據(jù)菜單下規(guī)劃求解功能實現(xiàn)。先選定可變單元格，代表實際問題中有待解決的未知因素，為規(guī)劃求解的方案；再確定目標函數(shù)，即規(guī)劃求解要達到的最終目標，一般為最大利潤或最小成本等，本例為差平方和最小；最后確定約束條件，即確定未知因素的限制條件，規(guī)劃求解的未知因素是否存在與約束條件有著密切關(guān)系，它對可變單元格中的值起著直接限制作用[4]。

2.2.1 計算數(shù)據(jù)表的建立

根據(jù)應(yīng)用實例中骨料篩分結(jié)果統(tǒng)計表，建立分析數(shù)據(jù)表。其中，目標級配為經(jīng)室內(nèi)試驗優(yōu)選后確定，對組成混合料的每種粒徑骨料限制條件在邊界條件中顯示。見圖1。

圖1 分析數(shù)據(jù)表

2.2.2 可變單元格的選定

實例中采用大石、中石、小石、砂及礦粉等5種骨料及填料合成瀝青混合料的骨料，選擇可變單元格及選擇上述5種骨料配料比例的單元格，為規(guī)劃求解結(jié)果輸出區(qū)域，見圖1中的M21-M25單元格。

2.2.3 確定目標函數(shù)

根據(jù)優(yōu)化求解模型，在Excel中選定一單元格(理論上可任意選擇，一般以方便現(xiàn)場操作為宜)，將分析數(shù)據(jù)表中各參數(shù)按照式(6)編寫目標函數(shù)公式，以備下一步規(guī)劃求解使用。

2.2.4 確定約束條件

組成瀝青混合料的各粒徑骨料的比例一要確保大于等于零，二要確保各比例之和等于1，約束條件對各粒徑骨料比例起到直接限制作用。

2.2.5 規(guī)劃求解

使用數(shù)據(jù)菜單欄下規(guī)劃求解功能，在彈出對話框中選擇目標函數(shù)，求其最小值，選擇可變單元格的位置，輸入各可變單元格的約束條件，需要說明的是對于xi≥0的約束條件，必須轉(zhuǎn)化為-xi≤0進行輸入，具體見圖2-圖3。輸入完成后進行求解，求解結(jié)果見圖4。根據(jù)求解結(jié)果，得到合成級配曲線與目標級配曲線，見圖5。從圖5中可以看出，合成級配曲線與目標級配曲線基本一致，采用Excel的規(guī)劃求解功能進行骨料合成級配計算能夠得到理想的結(jié)果，滿足實際工程應(yīng)用需要。

圖2 規(guī)劃求解參數(shù)的輸入

圖3 添加約束條件

圖4 計算求解結(jié)果

圖5 級配曲線圖

3 結(jié) 語

在建立水工碾壓式瀝青混凝土骨料合成級配計算數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用優(yōu)化求解的方法，利用Excel規(guī)劃求解功能，編寫相應(yīng)計算程序，方便現(xiàn)場施工人員計算使用。經(jīng)過在西藏某水利樞紐工程的實際應(yīng)用，計算小程序在骨料級配合成計算方面使用方便，計算結(jié)果可靠，以此計算結(jié)果拌制的瀝青混凝土性能指標滿足設(shè)計要求。