函數極限的幾種求解方法

楊艷秋

摘要：函數極限是極限的一個重要內容，求函數極限的方法多種多樣，本文主要通過例題來闡述了幾種求函數極限的方法。求極限的方法不可能全部列舉出來，希望通過這幾種求解方法的介紹展現極限思想的本質。

關鍵詞：函數極限;四則運算法則;洛必達法則

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）35-0247-02

極限是數學中一個非常重要的概念，廣義上的極限是指無限接近而永遠無法到達，數學中的極限是指某一個變量在變化的過程中，逐漸逼近某一個確定的數值，但是永遠不能等于這個數值。數學中的極限一般分為數列極限和函數極限，本文主要介紹函數極限及其求法。

1 函數極限的定義

設函數f（x）在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對于任意給定的正數ε，存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式：f（x）-A|<ε。那么常數A就叫作函數f（x）當x→x0時的極限，記作lim f（x）=A。

2 求函數極限的方法

2.1利用連續性求極限

設函數f（x）在某u（x0）內有定義，如果lim f（x）=f（x0）.則稱f（x）在x0連續。反之，如果要求lim f（x），可以由以上等式直接求f（x）在x0處的函數值就可以。

例1求lim（3x2-x+ 7）.

解：由初等函數的連續性，將1直接代人函數中有意義，所以：

原式=3x1 2-1+7 =9.

2.2消公因子法求極限

有些具有分數結構的函數用上面的代入法可能會出現分子或分母為零的情況，使得原函數沒有意義，所以無法直接代入求極限。

2.3利用無窮大無窮小的關系求極限

無窮大量和無窮小量的定義：如果函數f（x）當x→x0（或x→∞）時的極限為零，則稱函數f（x）為x→x0（或x→∞）時的無窮小量;如果函數f（x）當x→x0（或x→∞）時對應的f（x）無限增大，則稱函數f（x）為x→x0（或x→∞）時的無窮大量。

這里是利用無窮大量無窮小量的倒數關系求極限。

2.4分子分母降冪法求極限

在某些函數極限求解過程中，可以通過分子分母同時除以最高次冪來求極限。

該題目中分子分母的最高次冪是x3，同時除以x3然后求極限可知分子分母的后兩項極限為零，由此我們得到其極限值。

當a0≠0，b0≠0，m和n為非負整數時，有

2.5利用兩個重要極限求極限

首先介紹一下兩個重要極限，我們通過幾個例題來看一下如何利用重要極限求解極限。

我們可以看到在求極限的過程中，有的式子并不能直接利用重要極限的公式，需要進行一定程度的變形，在變形的過程中要注意保持原式的恒等性，靈活變換。

2.6利用四則運算法則求極限

極限的四則運算法則如下：如果limf（x）=A，limg（x）=B，則

2.7利用洛必達法則求極限

洛必達法則有兩種，0/0型和∞/∞型，即分子分母同時是無窮小或同為無窮大，這種情況極限可能存在也可能不存在，稱為未定式。

若函數f（x）和g（x）滿足下列條件：

3 小結

以上求極限的幾種方法互相之間有交叉，說明求極限需要靈活應用不同的方法，學會融會貫通。當然除了上面介紹的幾種方法，還有很多其他的方法，比如利用中值定理求極限，利用導數的定義求極限，利用泰勒公式求極限等等。極限思想的理解是比較大的一個難點，只有理解好極限思想才能在求極限的過程中得心應手。

參考文獻：

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【通聯編輯：光文玲】