自然常數e的指數形式與生活中物理現象的聯系

李 康

(蘇州工業園區金雞湖學校 江蘇 蘇州 215000)

眾所周知，自然常數e是數學3個最著名的無理數之一．微積分的發展離不開e，經濟學中的復利率出現了e的身影，就連自然界中的鸚鵡螺、羊觸角、向日葵種子等，甚至浩瀚宇宙中的螺旋星云，也都發現了與e緊密聯系的等角螺線．自古以來，等角螺線優美的外形使它成為了藝術界裝飾圖案的基本元素．除此以外，與e相關的懸鏈線方程的獲得，使建筑學中的懸索橋至今廣泛應用[1]．這些不禁讓筆者聯想到生活中與物理學相關的“e”些事．

1 最佳加熱/冷卻方案——流水噴淋法

【例1】(第二十屆全國中學生物理競賽預賽第3題)在野外施工中，需要使質量m=4.20 kg的鋁合金構件升溫．除了保溫瓶中尚存有溫度t=90.0 ℃的1.200 kg的熱水外，無其他熱源．試提出一個操作方案，能利用這些熱水使構件從溫度t0=10.0 ℃升溫到66.0 ℃以上(含66.0 ℃)，并通過計算驗證你的方案．已知鋁合金的比熱容c=0.880×103J/(kg·℃)，水的比熱容c0=4.20×103J/(kg·℃)，不計向周圍環境散失的熱量．

標準答案提示將保溫瓶中的熱水分成若干次倒到構件上，每次倒在構件上的水與構件達到熱平衡后，立即將與構件接觸的水倒掉．驗證的計算方案并不唯一，如果等質量均分熱水，只要分成5份就能使構件最終溫度達到66.0 ℃．那么，對于有限的熱水，構件最終溫度的最大值又為多少？為了計算的方便，假設將熱水等質量分成N份，不考慮熱損失，第1次混合達熱平衡后，構件溫度T1滿足

(1)

第2次混合有

(2)

類似的，第i次混合有

(3)

式(3)可整理為

(4)

顯然，{Ti-t}是一等比數列，由等比數列的通項公式得

(5)

故第N次混合后構件的最終溫度TN為

(6)

為使式(6)中最終溫度TN最大，由數學推導可知N應盡可能大，即

(7)

其中

(8)

將式(8)代入式(7)有

(9)

原本未出現在題干的自然常數e，卻因求極限最終以指數的形式，將最高溫度TNmax與初溫t，t0聯系了起來．利用題中數據，可以計算出最高溫度TNmax=69.5 ℃．

可見，鋁合金構件要盡可能吸收多的熱量從而升高溫度，就要將有限的熱水分成無窮多份，即將熱水一滴一滴地流到構件上，此為最佳加熱方案．生活中利用類似的方法，將冷水以小水滴的形態噴淋在高溫物體上進行冷卻降溫——流水噴淋法，它不僅能使高溫物體表面均勻冷卻，還能保證最大程度的冷卻作用，實現快速降溫．

2 力的放大器原理——歐拉公式

【例2】(第二十七屆全國中學生物理競賽決賽第1題)如圖1所示，在固定不動的圓柱體上繞有繩索，繩兩端掛大、小兩桶，其質量分別為M=1 000 kg和m=10 kg，繩與圓柱體之間的摩擦因數μ=0.05，繩的質量可以忽略．那么要使兩桶靜止不動，繩至少需繞多少圈?

圖1 例2題圖

取所對圓心角為Δθ的繩段微元為研究對象，受力分析如圖2所示．對其列出切向和法向的平衡方程分別為

(10)

(11)

圖2 對Δθ對應的繩段受力分析

由于Δθ很小，故

代入式(10)、(11)得

Ti+1=Ti+fi

(12)

(13)

當繩即將滑動時有

fi=μNi

(14)

聯立式(12)、(13)、(14)，忽略二階小量得

(15)

對式(15)兩邊求和，整理得

T=T0eμθ

(16)

當船只靠岸時，船員可以利用繞在纜柱上多圈的纜繩，輕而易舉地控制住質量巨大的船只．只要將繩在纜柱上多繞幾圈，余下的纜繩隨意扔在船上，繩端不必打結，也不系在其他物體上，eμθ指數關系就能束縛住整艘質量巨大的船只．生活中，捆扎物體時將繩多繞幾圈可防松脫、牧民拴馬也是類似的道理．除此之外，傳送帶是靠摩擦力工作的，常見的環形傳送帶如圖3所示．有經驗的工人師傅還會采用如圖4所示的“8”字形傳送帶，它比環形傳送帶具有更大的θ，因而更不容易打滑．

圖3 常見的環形傳送帶

圖4 “8”字形傳送帶

3 考古神器——衰變定律

放射性物質因衰變而減少是一個普遍規律．通過對大量原子核進行研究，發現所有的放射性同位素的原子數，隨時間作負指數函數而衰減——衰變定律N=N0e-λt，自然常數e竟然再一次以指數的形式出現在物理規律中，式中λ叫衰變常數，以表征放射性元素衰變的快慢．一方面，衰變定律告訴我們，生活中的核廢料在丟棄多年之后，仍然有危險．因為它們的衰變常數λ很小，因而能放出α，β，γ等有害射線的放射性物質衰減得很慢，所以2011年日本福島等地核電站放出的某些有害輻射會長期存在，而且永遠不會消失．另一方面，考古科學家可以利用14C，18O等多種放射性元素，測定古文物、化石和巖石等年齡，再經過必要的修正和測算，還能進一步估測地球的年齡．

除此之外，牛頓冷卻定律中也出現了類似于衰變定律的負指數函數e-λt關系，這一定律的發現為鑒定死亡時間發揮了重要作用，為刑事偵查帶來了方便．

綜上所述，無論是從工業上的流水噴淋法，到系船纜繩的拉力，還是從古物年齡的測定，到死亡時間的鑒定，亦或是從火箭飛天的計算，到氣象學中高空氣壓的研究，還是從含容電路的暫態過程，到統計學中的布朗運動……這些問題無一不與自然常數e有關．