基于《自然哲學之數學原理》對牛頓第二定律的再討論

談元凱

(上海市陸行中學 上海 200136)

1 問題的提出

牛頓第二定律是高中物理力學體系中的一個重要教學內容．作為一種物理觀念，從定律的內容上看，它是在研究物體受力不平衡時，力與運動之間關系的重要規律；從物理思維上看，研究牛頓第二定律的內容時涵蓋了豐富的物理思維內涵．學生通過定律的學習，可以進一步提升對力學體系中物理觀念和物理思維的認識水平．

目前高中物理教材中對于牛頓第二定律的表述如下：“物體的加速度a與受到的作用力F成正比，與物體的質量m成反比，寫作

F=ma

(1)

基于這種表述，教師在講解牛頓第二定律時，一般都是從“因果性”“瞬時性”“獨立性”等幾個方面進行講解和教授，學生也是單單地從“力”“加速度”“運動”的層面進行學習和理解．

但是在《原理》一書中，牛頓在建立第二定律時的表述與目前物理教材上的文字表述有所不同．所以學生根據物理教材上的文字進行理解，會忽略一些牛頓在建立定律時所要表達的其他內涵．

2 《原理》中的定義和定律

在《原理》[1]一書的所有章節之前，牛頓首先就對一些物理量進行了定義，并提出了運動規律：

“定義1：物質的量是物質的量度，可由其密度和體積共同求出．”

“定義2：運動的量是運動的量度，可由速度和物質的量共同求出．”

“定律Ⅱ：運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向．”

通過上述內容，可以發現：

定義1描述的是“物質的量”，但根據其大小的運算來看，就是我們現在規定的物理量“質量m”，即

m=ρV

(2)

定義2描述的是“運動的量”，從它的文字表述可以發現，它是高中需要學習的另一個物理量“動量p”，即

p=mv

(3)

定律Ⅱ是牛頓第二定律的內容，但其內容中清楚地表明：“運動的變化正比于外力”，而通過定義2可以知道，這種“運動的變化”是通過“動量p”來衡量的，即牛頓第二定律的數學表達式可以用微分形式改寫為

(4)

3 牛頓第二定律的再討論

經過對《原理》一書中牛頓第二定律的內容和表達式的解讀，相比現行物理教材中牛頓第二定律的表述，可以做進一步的討論.

3.1 牛頓第二定律可以反映出力對物體的兩種不同效應

根據牛頓第二定律的不同表述，分別對應了式(1)、(4)兩種不同的數學表達式．

前者是力的一種瞬時效應[2]．由于式子中不包含“時間”這個物理量，所以當物體受到的合外力發生變化時加速度也會瞬間發生變化；合外力變為零，加速度也瞬間變為零；并且加速度的方向也會隨著合外力方向的變化而變化．

后者表示在質量不變時，力的一種時間積累效應[2]．通過公式變形，得

(5)

通過分析式子，可以知道，力對物體要持續作用一段時間t，物體的動量p才發生變化．或者說力改變物體的運動狀態需要時間的積累．

相比力的兩種不同效應，在實際應用中卻有著各自的特點．式(1)中，加速度a起到了連接力學量和運動學量的樞紐作用，使得在求解運算中可以已知受力情況求運動情況，或者已知運動情況求受力情況．

而在式(5)中，只需要知道同一物體初末兩個狀態的速度v就可以進行進一步的求解，這會給我們帶來很大的方便．例如碰撞問題中，碰撞的時間極短，且這一短暫時間內物體間的碰撞力是急劇變化的變力，因此無法確定其加速度a，所以式(1)是不可能解決此類問題的．

3.2 牛頓第二定律只能適用于物體平動的情況

以剛體轉動為例[3]．如圖1所示，某物體以其自身某一點為軸自轉，其中有一質量為mi的微元在做曲線運動，某一時刻的速度為v，根據運動學知識可以判定該質點的運動狀態在不斷發生變化．假設該物體受到的外力為Fi，考慮到外力與轉軸之間的位矢r，外力會產生力矩，則轉動規律應該寫成

(6)

圖1 物體以自身某一點為軸自轉

通過積分變換

(7)

其中M為合力矩，J為該物體的轉動慣量，α為該物體的角加速度．

對比物體的平動，可以直觀地發現它們之間的因果關系有所不同：物體平動時合外力是產生加速度的原因；物體在轉動時合力矩是產生角加速度的原因．雖然表達式的形式相同，但是其背后的物理意義卻有著極大的差異．所以，牛頓第二定律只能適用于物體平動的時候．

3.3 通過對牛頓第二定律表達式的定性半定量分析可以獲得動能表達式的系數

基于如此的教學現狀，并不符合現行核心素養要求中學生對于物理觀念和物理思維學習的要求，甚至有一些“偽探究”的痕跡．

其實，根據《原理》中牛頓第二定律的動量表述，利用定性半定量的方法，可以較為嚴謹地得出動能的表達式．

以一維質點的運動為例．如圖2所示，某質點由于受到外力F的作用從靜止開始沿著水平的x軸做變速運動，經過一段元位移dx后速度為v．根據牛頓第二定律，有

(8)

圖2 一維質點受外力時的變速運動

對于式(8)等號左邊，采用量綱分析法[4]

dimF=LMT-2

dimdx=L

即

dim(F·dx)=L2MT-2

(9)

上面的證明撇除了對于復雜變速運動物理過程的分析，結合《原理》中牛頓第二定律的動量表述，僅僅依靠量綱分析和半定量的算法確定了動能大小的表達式，整個推演過程相對簡潔．

4 總結

本文主要通過《原理》中牛頓第二定律的動量表述，一方面與目前高中教材中的牛頓第二定律的表述進行了比較與討論，了解到力對物體的兩種不同效應；第二方面，討論了物體平動與轉動時兩種不同的因果關系，即平動時合外力是產生加速度的原因，轉動時合力矩是產生加速度的原因，所以牛頓第二定律只能適用于物體平動的情況；第三方面則是利用牛頓第二定律的動量表述，通過定性半定量的方法，推導出動能的表達式．

由此可見，對于牛頓第二定律的再討論是極具意義的．作為一條極其重要的運動定律，它貫穿了整個經典力學的始終．本文對于牛頓第二定律的再討論以及相應的思考方法既可以供同行在該定律的教學中提供一定的素材參考，同時也可以深入淺出地供學有余力的高中學生在物理觀念和物理思維的角度有一定的提升，真正提高學生的核心素養．