狹義相對論體系下慣性系與非慣性系的不對等性問題探討

楊習志

(昆明市第一中學 云南 昆明 650031)

趙 堅

(昆明市五華區基礎教育科學研究中心 云南 昆明 650031)

孫 彪

(昆明市第一中學 云南 昆明 650031)

1 問題提出

在狹義相對論章節的教學中，總會遇到學生問一些涉及加速運動的爭議性問題，這些爭議性問題的關鍵就在于是否搞清楚狹義相對論體系下慣性系與非慣性系、慣性運動與非慣性運動之間是否對等的問題，比如下面兩個問題.

問題1：到底誰在輻射電磁波？

眾所周知，電子做加速運動時會輻射電磁波，假設有兩個電子A與B，B相對于地面靜止，A相對于地面做加速運動，假設A會輻射電磁波．現在的問題是，既然運動是相對的，在A看來，是B相對于A做加速運動， B也應該輻射電磁波，那么到底是誰在輻射電磁波？電磁波具有能量，發射電磁波可以看成是一種能量輸出或耗散，即發射電磁波是一件確定的事實，按理不應該存在相對性的問題，絕大多數觀點當然是只承認A會輻射電磁波，但卻無法清楚地說服前面的提問．另外，如果確定是A輻射電磁波，加速運動的相對性在這里便不成立，即一定有一方是特殊的可區分的，那么如何區分便是一個非常重要的問題．

問題2：到底誰更年輕？

雙生子效應是一個非常著名的狹義相對論的思想性實驗，曾經引起了較大的爭議和討論．即一對孿生子A和B，A呆在地球上，B坐著飛船加速而去，若干年后再返回地球，那么到底誰更年輕？結論當然是坐著飛船離開再回來的B更年輕，即做變速運動的一方更年輕．問題在于，既然運動是相對的，那么在B看來是A在做加速運動，應該是A更年輕才對？這是關于雙生子效應中被問及最多的問題，也是最不容易爭論清楚的問題．可以肯定的是結論是唯一的，因為A與B已經碰面在一起，誰年輕必定是個事實，因此，這個問題的關鍵就在于到底加速運動有沒有相對性？或慣性運動和非慣性運動是否對等？如果不對等，那么這種不對等性體現在哪里？

2 加速運動的研究體系劃分

任何問題的討論都是在一定的范圍或體系下進行的，由于加速運動問題的探討到底屬于狹義相對論范疇還是廣義相對論范疇存在著很多爭議，故在探討以上問題時，不得不說清楚加速運動的研究體系問題．狹義相對論和廣義相對論是兩個完全不同的研究體系，區分狹義相對論和廣義相對論的根本問題在于時空背景，如果研究問題的時空背景是無引力的或弱引力的平直時空，又稱閔可夫斯基時空，則屬于狹義相對論研究體系，如果研究問題的時空背景是有引力的或強引力的彎曲時空，又稱黎曼時空，則屬于廣義相對論研究體系．以上所討論問題的時空背景均屬于平直時空問題，故均屬于狹義相對論研究體系，應在狹義相對論的大前提下進行討論．值得注意的是到現在依然有很多人認為雙生子佯謬問題涉及加速運動，應屬于廣義相對論研究范疇，理由是根據等效原理，即加速場與引力場等效，因此加速運動會產生引力效應，造成時空彎曲，故屬于廣義相對論研究范疇．這是一種極其錯誤的理解，等效原理只是一種局域等效，因為加速場是平行的，而引力場是匯聚的，二者不可能完全等效，故引力也有真引力與假引力之分，真引力的時空曲率不為零，而假引力的時空曲率是為零的，它是由于觀者做非慣性運動而產生的一種表觀引力，因此以上提到的加速運動問題仍屬于狹義相對論研究范疇．

3 閔式時空與雙生子效應結論的絕對性在慣性運動與非慣性運動不平權下的具體體現

隨著閔可夫斯基時空圖的出現，對慣性系或慣性運動的定義顯得方便了一些，如圖1所示，閔可夫斯基時空將時間與空間連成一個整體，構成時空圖，物體所發生的事件在時空圖中所畫出的線稱為世界線．為方便討論，空間維度只考慮一維，以雙生子效應為例，靜止于地球上的觀察者和地球(不考慮地球的自轉)都將畫出圖中甲所示的世界線．坐飛船變速離去又變速回來的觀察者將畫出圖中乙所示的世界線．世界線上的每一小段微元叫做線元(間隔)，其長度可表示為[1]

ds2=-c2dt2+dx2+dy2+dz2

圖1 閔可夫斯基時空圖

若為二維時空，則有ds2=-c2dt2+dx2，這與歐氏空間中兩點之間距離的計算有點類似，但更重要的特點是線元的長度是洛倫茲協變的，與參考系的選取無關，這里可以給出簡單證明，根據洛倫茲變換有

x′=(x-vt)γ

則

ds′2=-c2dt′2+dx′2=

-c2dt2+dx2

可見，線元的長度與參考系的選取無關，這對討論雙生子效應結論的唯一性有著非常重要的作用．其次，以甲為例，由于dx=0，則有

ds2=-c2dt2=-c2dτ2

其中dt是坐標時，與坐標系的選取有關，dτ是固有時間，即以自己為參考系而得出的時間，這個時間是與坐標系的選取無關的，可見世界線的長度可代表物體經歷的固有時，即

或

注意乙的世界線雖為曲線，若只需定性討論，可以將其分割成無數的小段，當分割成無限段時，每一小段即變成了直線，故仍可以通過洛倫茲變換變成如甲所示的直線，同樣可以得出乙的世界線長度即為乙經歷的固有時．又由于線元的長度是與參考系無關的，故可以得出結論，即質點世界線的長度就是質點所經歷的固有時，且與參考系的選取無關．這樣一來，要比較誰更年輕則只需要比較世界線的長度即可．注意與歐氏空間所不同的是,在閔式時空中直線為最長線，沒有最短線，故乙的世界線將更短，乙更年輕，且與參考系的選取無關．

以上用閔式時空圖來探討雙生子效應是非常直觀和方便的，但也有不少學者認為時空圖中無法具體給出乙做變速運動的曲線方程，無法進行定量的計算，故不太愿意承認這種方式的討論．為增強說服力，筆者將乙的運動簡化為折線運動以便進行定量的計算，注意折線運動也是變速運動．即乙坐著飛船勻速離開，再勻速返回，但關鍵問題在于乙既然做勻速運動就不可能返回，為此，可在某個時刻假設有另一艘飛船向著地球飛來，并在與乙相遇的時刻進行時間校準，以此來等效乙的返回過程，若以地球為參考系，可作出如圖2所示的時空圖，此時，只需要比較世界線LOA與LOBA的長度即可[4].

圖2 以地球為參考系的時空圖

即

又

x=vt

即

又

故

τOBA=2γ-1tB=γ-1tA=γ-1τOA

τOBA<τOA

即乙更年輕．

故可得其世界線如圖3中B′A′所示.

圖3 以乙為參考系的時空圖

即

又

LO′B′=γ-1ctC

故

即

又

τO′B′A′=τO′B′+τB′A′=2γ-1tC

故

τO′A′=γ-1τO′B′A′

即

τO′A′>τO′B′A′

故還是乙更年輕．

通過以上計算可以看出，無論是以地球上的觀察者甲為參考系，還是以飛船上的觀察者乙為參考系，最終的結論都是乙更年輕，即做變速運動的一方更年輕，結論是唯一的，故勻速運動與變速運動之間不存在相對性，它們之間是不對稱不平權的．

4 打破慣性系與非慣性系對稱性的根源是什么？

狹義相對性原理指出一切物理規律在慣性參照系中均有相同的形式，它反映了慣性參照系都是等價平權的，沒有特殊性的，它的定量描述即物理規律的表達形式必須是洛倫茲協變的，即物理規律的表達式必須服從洛倫茲變換．其次，洛倫茲變換本身就是慣性系之間的坐標變換，因此可以肯定的是無論是定性描述還是定量描述，狹義相對論體系下都只承認物理規律在慣性系中具有相同形式，無法區分，即只有慣性系之間是平權的．那么自然可以得知，物理規律在非慣性系中將不再具有相同形式，即慣性系與非慣性系之間不再具有對稱性，它們是不平權的，那么打破這一對稱性的根源究竟是什么呢？

在狹義相對論中出現慣性系與非慣性系的不對稱性是不可避免的，也是無法改變的，其根本原因來自于力的存在，尤其是引力的存在，讓愛因斯坦尤為感到困惑，因為引力無論如何也無法納入狹義相對論體系，它無法服從洛倫茲協變．于是愛因斯坦被迫另辟蹊徑創立了廣義相對論，將加速運動產生的效果與引力等效，稱為等效原理，由于在加速場中的觀察者將看到光線走彎曲的路徑，因此在引力場中的觀察者也應看到光線走彎曲的路徑，于是引力造成了時空的彎曲，引力被巧妙地變成了彎曲的時空背景，力消除了，于是對稱性又出現了，在廣義相對論體系下，一切參考系又都平權了，即物理定律的表達式在任意坐標變換下形式不變，稱為廣義相對性原理．因此，對于坐著飛船加速離開又加速返回的乙之所以處于特殊狀態，就是因為飛船要做變速運動時發動機必須工作為飛船提供推力，正是這個推力的存在打破了甲與乙的對稱性．

5 慣性系與非慣性系慣性運動與非慣性運動

雖然狹義相對論要求物理規律在慣性系中具有相同的形式，但其自身卻沒有對慣性系做過明確定義，究其原因：第一，在狹義相對論時空背景下慣性系與非慣性系、慣性運動與非慣性運動是涇渭分明，絕不模棱兩可的，即指定一個物體或一種運動，說它是慣性系或慣性運動是十分清楚的，如前面提到的加速運動的飛船就是非慣性系或做非慣性運動，但由于缺乏定量的可操作性的描述，也因此常常引發爭論．再如問題1中提到的電子，根據以上討論雖然可以肯定的是只有做非慣性運動的電子才會輻射電磁波，但問題是到底誰在真正地做非慣性運動？第二，洛倫茲變換是慣性坐標系之間的變換，這個變換本身就已經給出了慣性系的特點，即慣性坐標系之間是洛倫茲協變的．當然，我們也可以從慣性系所要求的特點給出慣性系的定義，狹義相對論中的慣性系要求其時空必定是均勻的且各向同性的，這等價于不受力的作用，因為力的作用會打破這種對稱性，故不受力的物體可以看作慣性系，這與我們通常對慣性系的定義是一致的，即相對于孤立質點(不受力)靜止或做勻速直線運動的物體可看作慣性系，反之則為非慣性系；同樣，相對于孤立質點(不受力)靜止或做勻速直線的運動就稱為慣性運動，反之則稱為非慣性運動．然而，這樣定義的弊端就是我們還得定義孤立質點以及不受力等問題，這勢必又會引發新的循環論證．關于此問題的討論，在梁燦彬教授所著的《微分幾何與廣義相對論入門》里面有較為詳盡的定量解釋，這里僅給出結論[1]，即當且僅當質點的世界線是類時測地線時，質點的運動稱為慣性運動；反之則為非慣性運動．其次，加速度又有三維加速度與四維加速度之分，三維加速度與參考系的選取有關，而四維加速度是絕對的與參考系無關的．當質點做慣性運動時，其四維加速度必定為零，當質點做非慣性運動時，其四維加速度必定不為零．當把加速運動理解為非慣性運動時，其加速運動必然是一種四維加速度不為零的、絕對的，與參考系無關的運動．