物塊沿斜面下滑時間問題探討

鄒兆貴

(長沙市長郡濱江中學 湖南 長沙 410013)

高中物理教學當中，經常會遇到求物塊沿斜面下滑所用時間的問題．通常斜面固定不動，由牛頓運動定律能夠快速求解物塊沿斜面下滑的加速度，從而求出下滑所用時間．鮮見針對斜面不固定時(斜面與水平面存在摩擦)物塊沿斜面下滑所用時間的問題，本文就此做一般論述．

1 問題描述

如圖1所示，一質量為M的斜面靜止在水平面上，斜面傾角為θ，斜面總長為L，M與水平面之間的動摩擦因數為μ．把一質量為m的物塊從斜面頂端無初速度釋放(物塊與斜面之間接觸面光滑)，求物塊經過多長時間t滑到斜面底端．(假設斜面與水平面之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

圖1 題圖

2 問題分析與解答

如圖2所示，設物塊從斜面頂端下滑到圖2所示位置時刻，斜面的水平加速度大小為a1，斜面對物塊的支持力為Fn．物塊對斜面的壓力為Fn1，水平地面對斜面的滑動摩擦力為Ff．地面對斜面的支持力為Fn2．以水平面作參考的慣性系中，對斜面,水平方向上有

Fn1sinθ-Ff=Ma1

(1)

豎直方向上有

Fn1cosθ+Mg=Fn2

(2)

由滑動摩擦力公式知

Ff=μFn2

(3)

圖2 分析圖

對物塊，以斜面作參考的非慣性系中，物塊相對于斜面的加速度方向沿斜面向下，用a2表示物塊相對于斜面的加速度，引入慣性力-ma1，對物塊,沿斜面方向

mgsinθ+ma1cosθ=ma2

(4)

垂直斜面方向

ma1sinθ+Fn-mgcosθ=0

(5)

由牛頓第三定律知

Fn=Fn1

(6)

由式(5)得

Fn=mgcosθ-ma1sinθ

(7)

把式(6)、式(7)代入式(2)得

Fn2=mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg

(8)

把式(3)、(6)、(7)、(8)代入式(1)得

mgcosθsinθ-ma1sin2θ-

μ(mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg)=Ma1

(9)

由式(9)得

(10)

把式(10)代入式(4)得

(11)

當μ，g，θ，m，M均為定值時，由式(11)易知a2為定值，故物塊相對斜面沿斜面向下做初速度為零的勻加速直線運動．在以斜面作參考的非慣性系中，對物塊，由運動學公式知

(12)

聯立式(11)、式(12)得

(13)

設斜面與水平面之間的動摩擦因數為μ0時，斜面相對于水平面剛好要滑動．此時a1=0，代入式(10)得

a1=0

斜面保持靜止，把a1=0代入式(4)得

a2=gsinθ

把a2=gsinθ代入式(12)得

物塊相對斜面下滑的加速度為

物塊下滑至斜面底端用時

特別地，當μ=0時

計算結果與文獻[1～6]一致．

此時

3 結束語

物塊沿斜面下滑所用時間問題，關鍵在于求解物塊相對于斜面的加速度．斜面不固定時(斜面與水平地面存在摩擦)，對物塊取非慣性系斜面作參考系，引入慣性力能夠方便求解物塊相對于斜面的加速度大小．此類問題綜合涉及了受力分析、牛頓運動定律、慣性系與非慣性系，可以作為一個很好的研究非慣性系中物體相對運動的實例．