約束阻尼結構阻尼效果的有限元預測方法研究

伍先俊

(中國科學院 聲學研究所，北京 100190)

機械系統振動消除的方法除減小源振動外，還有隔振和阻尼消振。阻尼消振是在結構覆蓋阻尼層來約束結構振動，使得結構振動能量轉換為阻尼材料變形的熱能，因而消耗掉振動能量的方法。阻尼消振技術在汽車、飛機、鐵路運輸、船舶中都有應用，特別是結構的共振區，阻尼材料的貼覆能夠極大減小振動，降低噪聲。

常用約束阻尼結構，是將黏彈性阻尼材料粘合在本體金屬板和剛度較大的約束層（通常是金屬板）之間，當結構彎曲變形時，本體金屬板與約束層產生相對滑移，黏彈性阻尼材料產生剪切應變使一部分機械能損耗的結構。阻尼消振結構有無約束面板的阻尼消振結構和含約束面板的阻尼消振結構，阻尼材料的厚度通常取本體板厚度的2倍左右，選用的約束面板層彈性模量通常遠大于阻尼層的彈性模量，厚度為本體金屬的1/2～1/4。

對于無約束面板的兩層結構和含阻尼面板的三層結構阻尼目前有一些針對梁的簡單預報方法[1]，Torvik P J等[2]用復模量描述黏彈材料的本構關系，并用模態應變能法對夾層板進行阻尼振動分析；文獻[3]分析提出一種基于GHM模型（由格羅斯曼和哈特(Gross man&Hart,1986)、哈特和莫爾(Hart&Moore，1990)等共同創立的）的有限元計算方法，GHM模型實質是測量了阻尼材料的頻域曲線后擬合出阻尼材料的傳遞函數，文獻[4]提出了一種基于GHM模型的有限元理論實現方法，目前的主流商業軟件對諧波分析的阻尼處理還是基于復模量的理論，文獻[5]根據復模量的理論對多層阻尼圓板的損耗因子進行了分析，選取它們的倒數和為目標函數進行有限元優化設計，不考慮自然頻率的導數和對于寬帶激勵不太適用。本文將對采用有限元法的阻尼因子計算法進行研究，基于模態應變能提出一種新的復合阻尼的快速計算方法，同時結合統計能量分析理論提出一種不同的結構阻尼優化目標函數，并提出基于該函數的有限元優化設計方法。通過經典算例的仿真討論，驗證了基于模態應變能的阻尼計算方法的正確性。對某含約束面板的阻尼層厚度進行了優化設計，最后根據諧波響應分析驗證了基于新的阻尼效果評價函數的優化計算的合理性。

1 復雜結構有限元計算理論和步驟

對阻尼結構的阻尼效果分析有諧波分析法和模態分析法，其中諧波分析法可以將阻尼參數代入諧波計算中，直接獲得有阻尼響應，是精確的方法。但是諧波計算需要進行整體結構所有自由度的響應，計算耗時長，不適于優化分析。另外一種方法是基于模態應變能的阻尼計算方法，即先計算出各階模態，通過材料參數和模態變形能計算獲得各階模態阻尼，這種方法比諧波分析計算量小很多。下面將先介紹諧波分析矩陣阻尼模型，然后給出基于模態應變能的阻尼計算方法。

1.1 諧波分析阻尼模型

對于諧波分析的響應，阻尼矩陣可以寫為[6]

式中：符號含義如下：[C]結構總阻尼矩陣；α阻尼質量乘子，[M]質量矩陣，β阻尼剛度乘子，g常量結構阻尼因子，Ω激勵頻率，[K]剛度矩陣，Nm有阻尼材料個數，gj對應于材料j的常量結構阻尼因子，[Kj]基于材料的剛度矩陣，Ne具有阻尼輸入的單元，[Ck]單元阻尼矩陣，Ng有科式或者陀螺阻尼的單元個數，[Gl]科式或者陀螺阻尼矩陣（科式或者陀螺阻尼在一般平動結構中不存在，所以本文不予考慮）。

諧波響應分析的方法有完全諧波分析、縮減諧波分析、模態疊加諧波分析和QR阻尼模態疊加分析法。在多種材料的結構諧波響應分析中，要求計算支持配比不同材料的βj，gj和Ck，才可以考慮不同材料阻尼對結構響應的影響，對以上阻尼都支持的有完全諧波分析法或者QR阻尼模態疊加分析法。

完全諧波分析法計算量比較大，QR阻尼模態疊加分析法可以減小計算量，因此本文采用后一方法。

根據動力學方程

對于QR阻尼模態疊加分析法，[K]、[C]可以是非角對稱矩陣，QR阻尼模態疊加分析法將[K]矩陣重新排列分出對稱部分和非對稱部分，通過略去[C]矩陣和[K]矩陣的非對稱部分，求得特征值和特征向量，通過以下公式進行坐標變換

[Φ]為對質量歸一化模態振型向量矩陣，{y}為模態坐標，通過以上公式可獲得以下式子

盡管 [Φ]T[C][Φ]和 [Φ]T[Kunsys][Φ]為對角陣，但是模態坐標數目得到減少，計算量得到降低。[Λ2]為對角特征值平方，[Kunsys]為剛度矩陣非對稱部分。

1.2 模態阻尼計算

對于具有多種材料，各材料阻尼因子不相同，可以采用基于變形能計算出一個有效模態阻尼因子，在擴展模態時計算單元結果(采用APDL命令MXPAND,NMODE,FREQB,FREQE,Elcalc,SIGNIF，而Elcalc取1表示計算單元結果)

其中：N為材料個數，βj為材料阻尼因子，Ej為對應材料j的模態變形能，Ej={φi}[Kj]{φi} ，{φi}為振型函數，[Kj]對應于材料j的剛度矩陣。

1.3 阻尼評價函數

本文基于統計能量分析的理論，得出一種針對寬帶激勵的阻尼情形，比較適用于通用場合。受隨機激勵單自由度振動物體的振速寫為[7]

其中：Sf為輸入力自功率譜，ωi為單自由振子模態頻率，M為被分析結構質量，ηi為單自由振子模態阻尼損耗因子ηi。

多階模態為多個振動物體，其總的響應為

對于多自由度系統，ωi為各模態頻率，ηi為模態阻尼損耗因子ηi。

該值越小阻尼效果越好，這種評價與過去的各模態阻尼平均或者倒數和都不相同[5]。

1.4 有限元計算關鍵過程

有限元分析采用單層實體殼單元代替梁單元，中間層采用實體殼單元，覆蓋層采用面殼體單元。各部分單元類型、材料類型、阻尼設置的APDL命令見表1。

Solsh190為3-D8節點實體殼單元，是一種看上去象實體的殼單元，可以模擬從薄到中等厚度的殼結構，薄殼結構無需抽中面，直接劃分單元，只需一層Solid-shell單元，并能保證精度。

建立有限元模型，計算模態頻率，并擴展獲得模態能量值：

2 阻尼計算方法和結果討論

2.1 對于單層梁計算結果的討論

圖1 自由阻尼約束層示意圖

對于兩層阻尼結構，損耗因子解析計算式為

算例：模型基礎層采用長0.5 m，截面積為H×B=7 mm×7 mm的鋁梁，阻尼材料厚度分別從0.002變化到0.01，阻尼材料彈性模量7×106，密度1 000，泊松比0.4，結構阻尼因子1，兩端自由。（為了只比較約束方向模態阻尼，因此約束梁非彎曲方向振動。）

表2是對一個梁結構第1階模態采用有限元方法和解析方法計算對比，兩層阻尼梁解析方法忽略了材料泊松比、梁寬度以及阻尼層質量的影響，在約束層厚度增大時計算誤差增大。

有限元計算阻尼層厚度大的結構阻尼因子與解析法差別較大，因此工程中使用解析式（3）需要格外注意。

2.2 對于含約束面板三層阻尼梁計算結果討論

對于含約束的三層阻尼結構如下

圖2 約束阻尼層示意圖

表1 各部分單元類型

對于三層梁結構，有以下解析計算公式

對于兩端自由梁自然頻率計算如下

對于兩端自由梁，有λ1l=4.73，λ2l=7.85，…λil≈(2i+1)π/2，ρ為梁材料密度，A為梁截面積，I

模型基礎層采用長0.5 m，截面為H×B=7 mm×7 mm的鋁梁，阻尼材料厚度0.003，阻尼材料彈性模量7×106Pa，密度1 000 kg/m3，泊松比0.4，其結構阻尼因子為1，兩端自由，約束層為鋼，厚度0.000 5。（為了只比較約束方向模態阻尼，因此約束梁非彎曲方向振動。）

由于約束阻尼層與波長有關系，所以計算前5階模態（公式（4）計算的模態頻率為：147.08 Hz，364.29 Hz，697.31 Hz，1 136.1 Hz，1 680.2 Hz）阻尼大小對比，表3是對一個含約束面板三層阻尼梁結構采用解析法和有限元法的計算結果對比。

有限元計算高階模態的阻尼因子與解析法差別較大，因此工程中使用解析式（4）需要格外注意。

為了驗證有限元計算結果的正確性，采用另外一種方法獲得阻尼因子作為驗證。即類似于通過實驗獲得傳遞函數曲線，通過傳遞函數曲線辨識阻尼的方法。對于集中點力情況同時計算諧波響應，從而獲得傳遞函數曲線。取距離梁中部0.06 m的位置計算加速度傳遞函數，傳遞函數曲線見圖3。圖中給出了用最小二乘法[8]與以及原始計算獲得的傳遞函數實部和虛部的對比。

圖3 計算獲得傳遞函數和最小二乘擬合傳遞函數對比

表2 解析方法和有限元計算方法對比

表3 解析方法和有限元計算方法對比

采用最小二乘法迭代法[8]識別出模態頻率、阻尼因子和解析解計算的對應數值見表4，可以看出采用有限元傳遞函數辨識出的各階模態頻率與解析解符合很好，同時各階模態的阻尼與采用有限元及公式（1）計算結果符合很好，因此驗證了采用有限元及公式（1）計算結果的正確性。

說明模態分析得到阻尼與諧波分析得到的阻尼比是對應的，驗證了分析結果的正確性。

2.3 板的計算結果和優化

具體優化方法參考文獻[9]。

優化解：hd1=0.001，hd2=0.000 69，mas=1.595 5 kg，rs=0.396。為了檢驗模態阻尼計算結果的正確性，采用完全諧波響應計算優化結果與非優化結果響應曲線對比。

hd1=0.001，hd2=0.000 69，隨機取5個點激勵，對平板平均速度做平均，優化前后響應譜對比如下圖4所示。

表4 傳遞函數分析辨識獲得各階模態頻率和阻尼因子

對一個平板進行優化設計，由于平板模型沒有解析方法可以計算，本文先基于模態應變能的阻尼計算方法進行優化設計，然后采用完全諧波分析法進行驗證。鋁板四端固支，鋁平板尺寸：0.5 m×0.5 m×0.007 m，阻尼材料彈性模量7×106Pa，密度1 000，泊松比0.4，其結構阻尼因子為1，約束層為鋼。

初始厚度為：APDL設計變量為阻尼層厚度hd1，約束層鋼板厚度hd2；阻尼層和約束板總質量限制條件為小于1.6 kg，即以下APDL代碼中的狀態變量mas小于1.6，以下APDL的目標函數為rs。初始設計hd1=0.002 5 m，hd2=0.000 5 m，而初始設計目標值rs=0.486；

對于優化計算，關鍵優化代碼如下，定義兩個優化變量：

圖4 約束阻尼層平板優化前后諧波響應譜對比

從圖4可以看出，通過合理分配阻尼板約束層和非約束層厚度，目標值獲得了1 dB左右的降噪效果。計算兩條曲線下的陰影面積，面積相比按分貝取對數，結果為減振1.1 dB，這與目標函數的變化基本對應，說明采用簡化方法的合理性。但是采用簡化方法優化計算時長有大幅度降低：一次完整諧波法需要時長80 s；采用模態分析法計算阻尼效果評價函數法需要時長18 s，節省時間量為77.5%；預計對于復雜大模型的計算，優化后速度可提高更多。

3 結語

本文進行了一種基于有限元的阻尼因子計算方法，提出總響應最小的模態阻尼優化計算方法，對三層平板阻尼鋪設進行了計算，并采用諧波響應對優化結果的準確性進行了檢驗。該方法基于商業軟件ANSYS提出，具有比較好的工程可操作性，可供實際阻尼優化設計參考。