斜支承系統關鍵件的跌落破損評價

段寧寧，余 立

(1.福建師范大學福清分校 海洋與生化工程學院，福州 350300；2.食品軟塑包裝技術福建省高校工程研究中心，福州 350300)

上世紀40年代，脆值的定義第一次被Mindlin[1]提出，但難以對其進行精準地確定；60年代，Newton[2]在該定義的基礎上提出破損邊界；70年代，Newton的理論被應用到ASTM標準中。考慮到產品的破損不僅與沖擊加速度最值也與振動疲勞損壞、產品過度變形等有關，Burgess[3]和王振林[4]分別提出疲勞損壞邊界、位移損壞邊界。王志偉[5-6]、王蕾[7]進一步將上述理論應用到非線性緩沖系統并探討其在典型波下的沖擊響應和破損邊界。針對運輸過程中作為導致產品破損主要因素之一的跌落沖擊，王志偉、胡長鷹、盧富德等研究了非線性系統在典型波作用下的跌落破損邊界[8-11]。由于產品受到撞擊時會在關鍵件部位率先發生破損，王軍、王志偉、陳安軍等提出破損邊界曲面，并討論相關參數對非線性系統關鍵件的破損評價[12-15]。

根據目前對斜支承系統的研究發現，其具有優良的減振效果[16-17]，孔凡玲、吳曉等研究了斜支承系統在典型波下的沖擊特性和位移激勵下的強迫振動[18-20]，嚴敏等[21-23]分別采用變分迭代法、Runge-Kutta法探討跌落工況下相關參數對系統位移和加速度響應、跌落破損邊界的影響。針對考慮關鍵件的斜支承系統，徐佩霞、陳安軍等就系統關鍵件的振動特性以及典型波作用下的沖擊響應與破損評價進行研究[24-30]，而對于系統關鍵件的跌落破損評價未見有人研究。

本文建立考慮關鍵件的斜支承系統簡化模型，應用四階Runge-Kutta法求解系統跌落沖擊動力學方程，分別以系統參數和跌落沖擊初始速度作為2個基本參量，獲得系統關鍵件跌落破損邊界曲線；以系統參數、跌落沖擊初始速度、支承角或頻率比或系統阻尼比作為3個基本參量，獲得跌落破損邊界曲面，探討系統支承角、系統頻率比、系統阻尼比等對關鍵件跌落破損邊界的影響規律。

1 動力學微分方程及無量綱化

考慮關鍵件的斜支承雙自由度系統可簡化為如圖1所示：若內裝物關鍵件的質量記為m1、內裝物主體的質量記為m2，則m1與m2間的等效剛度系數和阻尼系數記為k1、c1，m2與外包裝間的等效剛度系數、阻尼系數和原長記為k2、c2、l0，當斜支承彈簧為l0時的支承角度為?0。

圖1 考慮關鍵件的斜支承雙自由度系統

當包裝件在H高度自由跌落時，獲得系統跌落沖擊動力學方程[31]

式中 ：頻率比λ1=，質量比λ2=，關鍵件與主體間阻尼比，系統阻尼比。初始條件被無量綱化后變為，，。

由系統無量綱跌落沖擊動力學方程（2）知，影響系統關鍵件跌落破損邊界的因素主要有支承角、頻率比、系統阻尼比等。

2 系統關鍵件跌落破損評價

2.1 關鍵件跌落破損邊界曲線

按照脆值定義中的描述，運輸過程中為防止內裝物發生破損，要求其加速度響應最值不得超過脆值。即為，當系統關鍵件的脆值為Ac時，內裝物加速度響應最值滿足。將與式（1）、式（2）相結合，得出

當系統關鍵件的加速度響應最值為脆值時，則得出

進一步求得

設λ1=10，λ2=0.01，ζ1=0.05，ζ2=0.1，Ac=25，不同?0=600,700,800,900關鍵件跌落破損邊界曲線見圖2（a）。由圖知，當減小系統支承角時，曲線上移，系統關鍵件的未損壞區增大。

設?0=700，λ2=0.01，ζ1=0.05，ζ2=0.1，Ac=25，不同λ1=2,3,5,10關鍵件跌落破損邊界曲線見圖2（b）。由圖知，增加頻率比，跌落沖擊初始速度V右移，系統參數β上移，未損壞區擴大。

設?0=700，λ1=10，λ2=0.01，ζ1=0.05，Ac=25，不同ζ2=0.01,0.05,0.1,0.2關鍵件跌落破損邊界曲線見圖2（c）。由圖知，隨系統阻尼比的增加，曲線先上移后下移，未損壞區出現先擴大后減小的趨勢，因此系統存在最優的阻尼比。

圖2 關鍵件的跌落破損邊界曲線

2.2 關鍵件跌落破損邊界曲面

為進一步較為全面地評價支承角、頻率比、系統阻尼比等對關鍵件跌落破損邊界的影響，取系統參數β、跌落沖擊初始速度V、支承角?0或頻率比λ1或系統阻尼比ζ2作為基本參量，獲得關鍵件跌落破損邊界曲面，利用Runge-Kutta法求解式（2），探討系統支承角、頻率比、系統阻尼比等對關鍵件跌落破損邊界曲面的影響規律。

設λ2=0.01，ζ1=0.05，ζ2=0.1，Ac=25，當λ1=2,3,5,10時支承角對關鍵件跌落破損邊界曲面的影響見圖3。由圖知，隨支承角下降，曲面上移，系統關鍵件的未損壞區變大。

設?0=700，λ2=0.01，ζ1=0.05，Ac=25，當ζ2=0.01,0.05,0.1,0.2時頻率比對關鍵件跌落破損邊界曲面的影響見圖4。由圖知，在低頻率比范圍內，跌落破損邊界曲面出現較大波動；在高頻率比范圍，跌落破損邊界曲面趨于平穩，且隨頻率比增大，曲面上移，未損壞區增大。

設λ1=10，λ2=0.01，ζ1=0.05，Ac=25，當?0=600,700,800,900時系統阻尼比對關鍵件跌落破損邊界曲面的影響見圖5。由圖知，系統存在最優的阻尼比值；若系統阻尼比低于該值，則未損壞區隨阻尼比增大而增大；若系統阻尼比高于該值，則未損壞區隨阻尼比增大而減小。

3 結語

基于考慮關鍵件的斜支承雙自由度模型，在跌落動力學方程基礎上，應用四階Runge-Kutta法，獲得關鍵件的跌落破損邊界。跌落破損邊界結果顯示，跌落工況下的影響參數有支承角、頻率比、系統阻尼比等，分析結果表明：

（1）支承角的影響。由圖2（a）和圖3知，減小支承角有利于擴大關鍵件的未損壞區，縮小損壞區。然而，支承角的減小會導致位移響應最值增大，從而導致產品發生觸底。因此，在斜支承包裝系統設計時，一般建議選取700≤?0<900。

（2）頻率比的影響。由圖2（b）和圖4知，當頻率比小于5時，關鍵件未損壞區隨頻率比增大發生顯著增加；當頻率比大于5時，隨頻率比增加，破損邊界曲線趨于穩定，關鍵件未損壞區增加不明顯；不同于低頻率比的較大跌落破損邊界曲面波動，高頻率比處的跌落破損邊界曲面更趨于平穩。因此，合理選擇頻率比有利于提高斜支承系統的抗跌落沖擊性，一般建議λ1>5。

（3）系統阻尼比的影響。由圖2（c）和圖5知，系統阻尼比存在最優值；低于該值時，未損壞區隨阻尼比增大而增大；高于該值時，未損壞區隨阻尼比增大而減小。因此，為提高斜支承系統的減振性能，應選擇合適的系統阻尼比。

圖3 支承角對關鍵件跌落破損邊界曲面的影響

圖4 頻率比對關鍵件破損邊界曲面的影響

（4）系統參數和跌落沖擊初始速度的影響。根據β=2k2l0m2可知，減小內裝物主體k2或彈簧原長l0可獲得較小的系統參數β；然而，根據V=可知，減小k2或l0可獲得較大的跌落沖擊初始速度V，從而導致產品發生觸底。因此，在緩沖包裝系統結構設計過程中，應通過有效控制內裝物主體等效剛度系數和彈簧剛度以降低跌落沖擊初始速度，從而提高斜支承減振系統的抗跌落沖擊性。

圖5 系統阻尼比對關鍵件破損邊界曲面的影響