直升機模型艙室中的集群式有源噪聲控制系統性能研究

玉昊昕，陳克安，代 海

（西北工業大學 航海學院，西安 710072）

通常來說，多通道有源噪聲控制系統預先測量所有次級源到所有誤差傳感器之間的次級通路傳遞函數，并根據所有誤差傳感器的信號來調整每個次級源的輸出，以達到使誤差傳感器處聲壓減小的目的，這種系統稱為集中式控制系統。集中式控制策略通常有利于增大降噪量和擴大靜區[1-2]。然而，隨著次級源和誤差傳感器數量的增加，控制器的復雜度和對處理器的性能要求會迅速提高，在系統通道數十分龐大時將導致集中式控制策略難以實現，提高了在大空間（如客機艙室）中應用有源噪聲控制系統的成本[3]。為了降低系統復雜度，有源控制實際工程中常用的方法是采用分布式控制策略。分布式系統有多個互相獨立的單通道子系統組成[4]，并且忽略了各個子系統之間的互相影響，這樣硬件設計就能夠簡化，也更靈活。但是，由于忽略了聲耦合的影響，這樣可能會引起性能損失和不穩定性[5]。

為了解決集中式的復雜度和分布式系統的穩定性之間的矛盾，可以采用一種組成介于集中式和分布式結構之間的集群式系統。集群式系統是將一個包含較多次級源和誤差傳感器的大規模系統劃分成多個較小規模的子系統，每個子系統自身就是一個多通道的集中式系統。類似的系統在振動或振聲控制中也稱為分布式（distributed）控制系統。通過在振聲控制中的研究發現某些代價函數下，分散式系統性能顯著差于集中式系統，而當使用模塊優化和局部代價函數時，分布式系統性能與集中系統一致[6]。而在平板的振動控制中，分散式控制雖然能達到與集中式控制相近的性能，但是并不能保證收斂[7]。

在自由空間的有源噪聲控制中，多個小規模的多通道集中式系統的互相影響已被研究，發現系統穩定性與各個小系統之間次級源與誤差傳感器影響大小有關[8]。另外，對反饋分散式系統的研究也發現，當系統位置較近時有很大的穩定性風險[9]。

本文對集群系統在復單頻信號下的性能和穩定性進行了理論分析，然后在直升機模型艙中進行了若干仿真實驗，驗證了分析的有效性。

1 集群控制系統

1.1 算法和實現

為了簡化問題，考慮一個有NI個次級源和NI個誤差傳感器的多通道集群主動控制系統，該系統劃分為I個子系統，每個獨立的子系統都有N個次級源和N個誤差傳感器，采用復數濾波x最小均方算法（CFxLMS），系統框圖如圖1所示。顯然，N=1時集群系統即為分布式系統，I=1時即為集中式系統。假設誤差傳感器處接收到的原始信號由一個同頻復指數信號經過初級通路模型P得到，所有子系統均使用同一個參考信號。第n時刻的參考信號的復數形式可以寫為

圖1 集群式有源噪聲控制系統框圖

第n時刻的誤差傳感器收到的誤差信號矢量可以寫為

其中

上標T表示轉置，pm表示參考信號到第m個誤差傳感器的傳遞函數在ω處的頻率響應，也稱為初級通路響應，sm,l是第l個次級源到第m個誤差傳感器的傳遞函數在ω處的頻率響應，也稱次級通路響應，wi,l(n)是第i個子系統中參考信號到第l個次級源的復增益，稱為控制系數。

集群式系統中每個子系統均獨立運行，每個子系統的控制目標函數為該子系統的誤差傳感器接收到信號的平均能量和最小，則第i個子系統的控制系數的迭代方程可以寫為

其中：上標H表示共軛轉置，μ為收斂系數，ei(n)=是第i個子系統的誤差信號矢量，Sp,q是第p個子系統的誤差傳感器到第q個子系統的次級源的傳遞函數在頻率ω處的頻率響應矩陣，可以表示為

這里為了簡化計算，可以假設每個子系統的收斂系數相同。由式(9)，式(5)可以表示分塊矩陣形式

將I個子系統的控制系數迭代方程聯立起來，由式可得到可得式

其中：是塊對角矩陣

式同時反映了各個子系統獨立地對自身控制系數同時進行迭代更新的行為。顯然如果控制系統為集中系統時有N=1，即等價于只有一個控制單元的集群式系統，此時系統迭代方程與式(11)有相同的形式，且有S=ZS。

1.2 穩態性能分析

假設各個子系統系統在經過長時間迭代之后達到穩態，即當n→∞時有w(n+1)=w(n)=wopt，由式(2)和式(11)可以獲得控制器系數的穩態值wopt，假設控制系統收斂，因此有

由式(13)解得

式中上標“+”表示求Moore-Penrose廣義逆。由于假設次級源與誤差傳感器個數均為IN，因此和S均為方陣。如果進一步假設和S為非奇異的，那么無論控制系統系統為集中式系統或集群式系統，均有

因此集群式與集中式系統在達到穩態時，系統控制系數相等，即此時兩種控制系統有相同的穩態性能。將式(15)代入式(2)，可得系統處于穩態時誤差信號矢量e(n)的值為0，即此時控制系統所有誤差傳感器處的聲壓被完全抵消了。

1.3 系統穩定條件

控制系統的穩定性可以用控制系數w的行為來描述，將式(2)代入式(11)，并在等式兩邊同時減去式(15)得

其中：

如果隨著n的增大有w(n)-wopt趨于0，則控制系統是穩定的。對進行特征值分解有

其中：F是特征向量矩陣，Λ為特征值矩陣。將式(18)代入式(16)可以得

其中：v′(n)=F-1v(n)。將式(19)改寫為從n=0時刻開始的形式有

將上式轉化為標量形式，則第i個分量滿足

對上式兩邊做z變換，整理得

如果系統要保持穩定，則要求的v′i(z)極點應位于z平面的單位圓之內。由式(22)可知，v′i(z)的極點為

即當

對所有i成立時系統穩定。若假設λi=ai+ibi，ai、bi均為實數，且μ>0，則式(24)的解為

因此只要μ滿足

則系統穩定，這意味著只有當HS的特征值均落在z平面右半平面時，才存在能使系統穩定的收斂系數μ。

2 實驗

2.1 場景設置

為了驗證第2節中的分析是否正確，在如圖2（a）所示的直升機模擬艙室中開展實驗研究，艙室布置示意圖如圖2（b）所示。系統使用了8個誤差傳感器，8個次級揚聲器，如圖2（b）所示分別對稱地裝在艙室頂上。初級聲場通過模擬艙室外部兩側的8個大型音箱產生。

圖2 實驗環境

為了便于比較，集中式系統，集群式系統和分布式系統均包含8個次級源和8個誤差傳感器，且布局位置相同。系統配置如圖3所示，其中分散式系統由8個單通道控制器組成，每個控制器都由1個誤差傳感器和1個次級揚聲器組成，圖3中每個虛線圍成的矩形區域表示一個單通道控制器；集群式系統由兩個4×4的控制器構成，每個實線圍成的矩形區域表示一個4×4的控制器；集中式系統則由所有的8個誤差傳感器和8個次級揚聲器組成。3種控制器均采用CFxLMS算法。

圖3 實驗系統設置框圖

對3種系統在艙室模型中的性能進行仿真和實驗之前均需要對次級通路進行建模。每個次級源和每個誤差傳感器之間的次級通路傳遞函數，均以抽頭數為384的FIR濾波器來對各個次級通路進行離線建模。離線建模時控制器依次饋給次級聲源隨機白噪聲信號，以此時誤差傳感器接收到的信號作為期望信號，饋給次級聲源的信號作為參考信號，使用LMS算法對FIR濾波器的系數進行迭代。圖4為其中一個次級通路經過建模得到的幅頻響應和相頻響應，該次級通路在96 Hz頻點處的頻率響應約為-5.8～12.0j。

圖4 次級通路傳遞函數幅頻響應

取參考信號頻率從80 Hz開始，以5 Hz為間隔遞增至450 Hz，每個頻點下分別用集中式、集群式和分散式系統進行控制，對每個系統均盡可能地調節系統控制系數μ使其穩定，并記錄誤差點的平均降噪量。

2.2 穩態性能比較

實驗結果顯示，只要集群式或分散式系統能保持穩定，當系統收斂達到穩態后，它們的性能均與集中式系統十分接近。

以參考信號頻率95 Hz為例，此時3種系統的降噪量如圖5所示。

圖5 95 Hz時的誤差傳感器平均SPL

計算集群式和分散式系統HS的特征值，發現其實部均大于0，與第2節的理論分析對照可知，此時集群式系統的和分散式均應能保持穩定，且降噪量應與集中式系統一致，實驗和理論結果能保持一致，

2.3 穩定性比較

從2.3分析可知，系統的穩定性與在控制頻點處的HS矩陣的特征值分布有關。因此可以認為在如圖3所示的系統布局下，控制系統能保持穩定的頻率區間越寬，系統的穩定性越好。

集群式和分散式系統的穩定頻率區間如圖6所示。圖中頻率上方對應空間中黑色表示此時系統穩定，白色表示此時無論如何調整μ均不能使系統穩定。

圖6 系統穩定頻率區間

從圖中可以看到，集群式系統穩定區間明顯大于分散式系統，在80 Hz～450 Hz范圍內，集群式系統在92.0%的區間內能保持穩定，而分散式系統只有66.7%的區間內能保持穩定，且在140 Hz～200 Hz范圍有連續的不穩定區。顯然，集群式系統的穩定性高于分散式系統。

以參考信號頻率125 Hz為例，此時控制結果如圖7所示。在這種情況下，分布式系統變得不穩定，而另2種系統仍然正常收斂，且穩態性能相同。

圖7 125 Hz時誤差傳感器的平均SPL

圖8 復平面中的特征值位置分布

3 結語

首先對在單頻復信號下，集群式系統的穩態性能和穩定條件進行了理論分析，分析結果顯示：

(1)集群式系統的穩態性能和集中式系統相等；

(2)當矩陣HS的特征值均有正實部時，集群式系統穩定。

然后在直升機艙室模型中進行了控制實驗。實驗中對集中式、集群式和分散式系統在不同頻率下的穩態性能和穩定性進行和研究，結果顯示：

(1)集群式系統穩定時與集中式系統有相同的降噪性能；

(2)當系統穩定時，HS特征值實部均大于0，當系統不穩定時，HS至少有1個特征值的實部小于或等于0；

(3)集群式系統的穩定頻率區間大于分散式系統。實驗結果很好地驗證了理論分析的正確性。

綜上所示，集群式系統作為一種介于集中和分散式之間的系統形式，具有與集中式系統相同的穩態降噪性能，以及比分散式更好的穩定性。