普朗克內插法的詳細過程

吳思遠 王笑君

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

學習黑體輻射時，教材往往由于篇幅原因而簡略給出成功詮釋實驗的普朗克黑體輻射公式．但是，作為物理教師應該跳出教材框架，對教材的內容進行深入的學習研究，了解知識發展的歷史過程，以及在這個過程物理學家是如何研究思考的，進而能夠利用這些材料輔助教學．在教學中引領學生經歷科學家研究的過程，領會科學研究方法，養成科學思維習慣；并且在這個過程能夠使學生認識到科學的本質，形成正確的科學態度、科學世界觀和價值觀[1]．

1 普朗克的學習經歷

回顧普朗克的學習經歷，有助于我們了解普朗克的研究思想，并為理解普朗克為什么能夠走到使用內插法得到黑體輻射公式這一步作鋪墊．

普朗克在1877年作出轉入柏林大學的物理學專業的決定．在轉學前，他在慕尼黑大學的老師約利(P.Jolly)勸說他，物理這一學術領域已經基本完善了，留下來研究數學吧．普朗克沒有選擇留下．后來他在《科學自傳》中解釋決定離開的原因：“通過我們思考研究后用最簡單的語言闡釋自然界的客觀存在是最吸引我的，而且我認為最崇高的科學研究任務是探索適用于描述自然現象的規律．”[2]

在柏林大學初始的時間里，普朗克修讀了著名物理學家基爾霍夫(Kirchhoff，1824—1887)和亥姆霍茲(Helmholtz，1821—1894)的課程．在學習一段時間后，普朗克表示他們的課堂不夠吸引他，因此，普朗克選擇自學研讀感興趣的知識．在一次偶然中，他了解到克勞修斯的著作，被他深入淺出通俗易懂的語言所吸引了．普朗克著迷于克勞修斯提出的熵的概念和其他熱力學觀念，從此以后普朗克全身心地投入于研究熱力學當中．并且他堅信熵這個概念在物理學上會有重要的地位．這個想法一直影響著他的科學研究工作，包括后來處理黑體輻射問題的思路．

2 黑體輻射的研究成果

在1894年時，普朗克將他的研究重心轉向當時德國科學研究工作熱點之一的黑體輻射研究．普朗克開始從事黑體輻射研究時，在實驗和理論方面都有許多杰出的物理學家從事這方面的研究．

基爾霍夫在理論上做出了階段性的工作，提出了基爾霍夫定律和“絕對黑體”概念．將黑體輻射問題轉變為尋找一個與物質無關的普適函數F(ν,T)．在此之后又知道黑體輻射的普適函數可以用平衡輻射時的能量密度ρ(ν,T)來表示[3]

式中c為真空中的光速．接下來的工作就是要探尋能量密度函數．在探尋能量密度函數上維恩作出了杰出的貢獻，給出了能量密度函數的基本形式

(1)

式中A是常量，其中φ的函數形式尚不能最終確定．

在1896 年，維恩為了能夠得到確定的能量密度函數，在推導時作出了3個假設．

第一，假設溫度T的黑體輻射可以與同溫度的理想氣體比擬，并且引用麥克斯韋速度分布律．

第三，假定輻射能量密度與相應的分子數成比例[3]．

最終得出能量密度函數，也稱為維恩公式

(2)

式中a和b是常數．

3 普朗克對維恩定律的改進

普朗克完全知道維恩于1896年得到的公式，而且這個公式極好地反映了當時實驗的觀測結果．但是維恩在推導公式時所作的假設不符合普朗克的口味，是因為普朗克在很長一段時期里都不相信玻爾茲曼的分子動理論觀點．比起那種困難而又帶有近似性質的分子動理論來說，他更喜歡純熱力學的嚴密理論．

因此，普朗克希望通過熱力學方法使用更少的假設得到相同的方程．在這個問題上普朗克認為熵是關鍵所在．在給定體積具有一定能量的空腔中，平衡輻射能量分布是各種可能分布中最穩定的，其熵值最大．空腔輻射平衡時的能量密度函數可以通過熵S與振子平均能量U之間的函數關系得到．

首先，普朗克運用經典電磁理論對封閉在一個具有理想反射壁的空腔里的電磁輻射進行研究，采用赫茲振子模型，由運動方程出發[4]導出能量密度ρ(ν,T)與振子平均能量U的關系式

(3)

接著，普朗克為了找到振子的熵S與它平均能量U的關系，利用了維恩公式(2)與能量密度公式(3)，得出振子平均能量的表達式

(4)

(5)

(6)

(7)

得出這個簡單的關系后，普朗克堅信他走在正確的道路上．后來他提到：“黑體輻射研究就是在尋找一條普適的物理定律，并且越是普適的物理定律就應該越簡單……所以當我得出量R與振子的平均能量成正比時，就知道了它是解決能量密度函數的關鍵．”[5]

最終，對式(5)積分可得熵與振子平均能量之間的關系

(8)

在普朗克的上述論證中，似乎存在著利用維恩公式定義振子的熵，而后又用這個熵定義式得出維恩公式的循環推論．實際上普朗克的做法只是把維恩公式作為關于能量密度函數的一個經驗猜測，從這個公式所提供的信息來建構一個振子熵的定義式作為一個基本假設，然后由系統熵變出發，給輻射規律一個嚴格的理論論證．普朗克在1899年5月18日提交論文展示了他的研究成果，并表示確信從他的假設中推導出的輻射定律是正確的[5]．

4 普朗克由內插法得到輻射公式

普朗克在通過簡單的假設重新推導出維恩公式后，與實驗物理學家保持緊密聯系，及時了解最新的實驗進展．在1899年底，普朗克了解到盧默爾(O.R.Lummer，1860—1925)等實驗物理學家發現了在把波長范圍擴大后維恩公式對實驗結果存在偏差[7]，于是開始重新思考研究維恩公式．

與此同時，瑞利(Rayleigh，1842—1912)在知道維恩公式在長波方向偏離的實驗結果后，使用麥克斯韋-玻爾茲曼的能均分定理對黑體輻射進行研究[8]．在1900年6月，瑞利發表題為《關于完全輻射定律的評論》的文章，在文章中瑞利根據能均分定理提出了自己的輻射公式，即有名的瑞利公式[6]

ρ=Cν2T

(9)

式中C是常量．

U=const·T

(10)

(11)

(12)

在總結式(7)和式(12)時可知函數R有兩個簡單的極限情況：在小能量時，函數與能量一次方成正比；在大能量時，函數與能量的二次方成正比．為了得到普適的情況，選擇函數R等于能量的一次方和能量的二次方之和[3]

R=C1U+C2U2

(13)

(14)

(15)

由式(15)積分后即可以得到振子平均能量的表達式

(16)

(17)

再將式(17)代入式(3)，即可得到輻射能量密度公式

(18)

在得出黑體輻射公式后，普朗克就將公式交給魯本斯與實驗數據作比較．兩天過后，魯本斯親自來到普朗克家里告訴他公式與實驗結果一致．緊接著普朗克將他的研究工作寫成報告，并于1900年10月19日在德國物理學會上進行匯報．自此過后，普朗克的黑體輻射公式經受住了考驗，被更多精密的實驗證實是正確的．

5 總結

通過上述的歷史探索，給出普朗克內插法的詳細過程，進而彌補教材上只有結果，沒有研究過程的遺憾．使教師能夠在教學中融入物理學史，進而使學生發現普朗克內湊出黑體輻射公式并不是像通常理解的那樣理所當然，而是經歷了科學家們曲折反復的研究才完成的．同時使學生感受科學家的實際創造過程和領會其研究思想，有利于促進學生形成嚴謹科學的物理思維，并且大大激發學生對更深奧的物理知識的探究熱情．