判別線面相交及面面相交可見性的假想墻法

王 琳，畢 艷

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判別線面相交及面面相交可見性的假想墻法

王 琳，畢 艷

(文華學院機械與電氣工程學部，湖北 武漢 430074)

針對判別直線與平面相交及平面與平面相交的可見性提出了一種假想墻的方法。在直線與平面相交問題中探討了3種典型的情況：一般位置直線與特殊位置平面相交、一般位置直線與一般位置平面相交、特殊位置直線與一般位置平面相交；在平面與平面相交的問題中探討了3種典型的情況：特殊位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與一般位置平面相交。通過假想墻方法，可快速準確地判斷直線與平面相交及平面與平面相交的可見性，為機械制圖課程相關內容的學習及教學提供一些參考。

直線；平面；相交；可見性

在工程制圖與畫法幾何中，直線與平面相交求交點并判別直線可見性、平面與平面相交求交線并判別平面的可見性這兩個問題一直是難點問題，尤其是可見性的判別。常用的方法是通過重影點或者換面法進行判別[1-2]，理解起來有一定難度。有學者提出了一些新方法如區分平面的正、背面、重影線等[3-6]，這些方法均只能解決某一類問題，如直線和平面相交或平面與平面相交或者是相交問題中的某一特殊情況。本文提出了一種假想墻的方法，既可解決線面相交的問題又可解決面面相交的問題，且應用起來較直觀簡單。

1 直線與平面相交的判別

直線與平面相交，首先要求交點，再判別直線的可見性。根據直線和平面的位置關系，可分為一般位置直線與特殊位置平面相交、一般位置直線與一般位置平面相交、特殊位置直線與一般位置平面相交3類[7-8]。下面將分別分析3種情況下假想墻方法的應用。

1.1 一般位置直線與特殊位置平面相交

如圖1(a)所示，為一般位置直線，△為鉛垂面，求直線與△的交點并判別可見性。

找交點：如圖1(b)所示，設直線與平面的交點為，點既在直線上又在平面內，因此點在水平面內的投影即直線與平面水平投影的交點，根據點的水平投影可以很容易找到點的正面投影?。

圖1 假想墻法判別一般位置直線與特殊位置平面相交的可見性

假想墻判別可見性：如圖1(c)所示，要判別直線正面投影的可見性，需在水平面從前往后看。將直線的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，發現△靠近的部分可見，靠近的部分被墻擋住不可見。根據直線與平面一個可見則另一個不可見的規律，在正面投影中△靠近的部分可見，則直線靠近這部分即端不可見，△靠近的部分不可見，則直線靠近的部分即端可見。

結果：如圖1(d)所示，的正面投影以交點?為界，靠近?的一端可見為實線，靠近?的一端不可見為虛線。

1.2 一般位置直線與一般位置平面相交

如圖2(a)所示，為一般位置直線，△為一般位置平面，求直線與△的交點并判別可見性。

找交點：如圖2(b)所示，設一經過直線的鉛垂面與△相交于直線，則直線與△的交點必在直線上。的水平投影，正面投影??，則??與??的交點即為?，再根據投影關系找到的水平投影。

圖2 假想墻法判別一般位置直線與一般位置平面相交的可見性

假想墻判別可見性：如圖2(c)所示，要判別直線正面投影的可見性，需在水平面從前往后看。將直線的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，發現△靠近的部分可見，靠近的部分被墻擋住不可見。根據直線與平面一個可見則另一個不可見的規律，在正面投影中△靠近的部分可見，則直線靠近這部分即端不可見，△靠近的部分不可見，則直線靠近的部分即端可見。

同理，判別直線水平面投影的可見性，需由正面從上往下看。如圖2(d)所示，將直線的正面投影??拉伸為一個正垂面墻，從上往下看，發現△靠近的部分可見，靠近的一端被墻擋住不可見。根據直線與平面一個可見則另一個不可見的規律，在水平投影中△靠近的部分可見，則直線靠近這部分即端不可見，△靠近的部分不可見，則直線靠近的部分即端可見。

結果：如圖2(e)所示，的正面投影以交點?為界，靠近?的一端可見為實線，靠近?的一端不可見為虛線。的水平投影以交點為界，靠近的一端可見為實線，靠近的一端不可見為虛線。

1.3 特殊位置直線與一般位置平面相交

如圖3(a)所示，為鉛垂線，△為一般位置平面，求直線與△的交點并判別可見性。

找交點：如圖3(b)所示，設直線與平面的交點為，在鉛垂線上。在水平投影面內連接并延長交于，則點既在直線上又在直線上。??與??的交點'即直線與平面△的交點的正面投影。

圖3 假想墻法判別特殊位置直線與一般位置平面相交的可見性

假想墻判別可見性：如圖3(c)所示，要判別直線正面投影的可見性，應在水平面內由前往后看。將直線的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，發現△靠近的部分可見，靠近的一端不可見，則正面投影直線靠近這部分即端不可見，靠近的部分即端可見。

結果：如圖3(d)所示，的正面投影以交點?為界，靠近?的一端不可見為虛線，靠近?的一端可見為實線。

2 平面與平面相交的判別

平面與平面相交，首先要求出交線，再判別平面的可見性。根據平面和平面的位置關系，可分為特殊位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與一般位置平面相交3類[7-8]，本文分別分析應用3種假想墻的方法。

2.1 特殊位置平面與特殊位置平面相交

如圖4(a)所示，△和△均為鉛垂面，求△與△的交線并判別可見性。

找交線：如圖4(b)所示，設兩平面的交線為，則既在△上又在△上，的水平投影集聚為一點，為鉛垂線。作出該鉛垂線的正面投影，與兩平面的邊有4個交點，因既在△上又在△上，取靠近里面的兩個交點即為的正面投影??。

圖4 假想墻法判別特殊位置平面與特殊位置平面相交的可見性

假想墻判別可見性：如圖4(c)所示，要判別正面投影的可見性，應在水平面內由前往后看。將△的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，發現△靠近的部分可見，靠近的部分被墻擋住不可見，根據兩平面一個可見則另一個不可見的規律，則正面投影中△靠近這部分即端不可見，靠近的部分即端可見。也可將△的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，得到的結果相同。

結果：如圖4(d)所示，正面投影中以交線??為界，△靠近的部分可見為實線，靠近的部分不可見為虛線；△靠近的部分不可見用虛線，靠近的部分可見用實線。

2.2 一般位置平面與特殊位置平面相交

如圖5(a)所示，△為一般位置平面，△為鉛垂面，求△與△的交線并判別可見性。

找交線：如圖5(b)所示，設兩平面的交線為，則既在△上又在△上，的水平投影即為圖中的交線，根據水平投影很容易找到的正面投影??。

圖5 假想墻法判別一般位置平面與特殊位置平面相交的可見性

假想墻判別可見性：如圖5(c)所示，要判別正面投影的可見性，應在水平面內由前往后看。將△的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，發現△靠近的部分可見，靠近的部分被墻擋住不可見，根據兩平面一個可見則另一個不可見的規律，則正面投影中△靠近這部分即端不可見，靠近的部分即端可見。

結果：如圖5(d)所示，正面投影中以交線??為界，△靠近的部分可見為實線，靠近的部分不可見為虛線；△靠近的部分不可見為虛線，靠近的部分可見為實線。

2.3 一般位置平面與一般位置平面相交

如圖6(a)所示，△與△均為一般位置平面，求△與△的交線并判別可見性。

找交線：如圖6(b)所示，設有一經過△的邊的鉛垂面與△相交于直線，則直線與直線的交點既在△上又在△上；設有一經過△的邊的鉛垂面與△相交于直線，則直線與直線的交點既在△上又在△上，只需找到這兩個交點，交點的連線即兩平面的交線。

直線和直線的水平投影為12和34，正面投影為1?2?和3?4?；1?2?與??的交點為?，3?4?與??的交點為?，則??既在△ABC上又在△上，直線即為兩平面的交線。根據的正面投影可找到其水平投影。

圖6 假想墻法判別一般位置平面與一般位置平面相交的可見性

假想墻判別可見性：如圖6(c)所示，要判別正面投影的可見性，應在水平面內由前往后看。將交線的水平投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，發現△靠近的部分可見，靠近的部分被墻擋住不可見，根據兩平面一個可見則另一個不可見的規律，則正面投影中△靠近這部分即端不可見，靠近的部分即端可見。也可先判別△的可見性再根據兩平面一個可見則另一個不可見的規律判別△的可見性，得到的結果是一樣的。

同理，判別水平面投影的可見性。如圖6(d)所示，要判別水平投影的可見性，應在正面內從上往下看。將交線的正面投影??拉伸為一個正垂面墻，從上往下，發現△靠近的部分可見，靠近的部分被墻擋住不可見，根據兩平面一個可見則另一個不可見的規律，則水平投影中△靠近這部分即端不可見，靠近的部分即端可見。

結果：如圖6(e)所示，正面投影中以交線??為界，△靠近的部分可見為實線，靠近的部分不可見為虛線；△靠近的部分不可見為虛線，靠近的部分可見為實線。水平投影中以交線為界，△靠近的部分可見為實線，靠近的部分不可見為虛線；△靠近的部分不可見為虛線，靠近的部分可見為實線。

3 結 論

假想墻法判別線面相交直線的可見性：

(1) 判別直線正面投影的可見性，在水平投影面內將直線的投影(若直線投影集聚為一點則將該點所在的直線)拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，在墻前面的平面可見，則正面投影中靠近平面該部分的直線端不可見，另一端可見。

(2) 判別直線水平投影的可見性，在正投影面將直線的投影(若直線投影集聚為一點則將該點所在的直線)拉伸為一個正垂面墻，從上往下看，在墻上方的平面可見，則水平投影中靠近平面該部分的直線端不可見，另一端可見。

假想墻法判別面面相交平面的可見性：

(1) 判別平面正面投影的可見性，在水平面內將交線所在直線的投影拉伸為一個鉛垂面墻，從前往后看，在墻前面的平面端可見，在墻后面的平面端不可見。

(2) 判別平面水平投影的可見性，在正投影面內將交線所在直線的投影拉伸為一個正垂面墻，從上往下看，在墻上面的平面端可見，在墻下面的平面端不可見。

通過假想墻的方法，可較快速準確地判別各種情況下的線面相交及面面相交的可見性。

[1] 杜海霞. 用重影線法圖解線面相交問題[J]. 高等函授學報: 自然科學版, 2010, 23(1): 39-40.

[2] 羅宏博. 一般位置直線與一般位置平面相交可見性判斷方法的研究[J]. 隴東學院學報, 2014, 25(1): 25-26.

[3] 牛彥. 兩平面相交可見性判斷的新方法[J]. 遼寧工程技術大學學報, 2005, 24(1): 124-126.

[4] 馬麗敏, 劉仁杰. 直線與平面相交可見性判別的新方法[J]. 工程圖學學報, 2008, 29(3): 121-125.

[5] 于曉丹. 平面與平面相交可見性判別的新方法[J]. 遼寧工業大學學報: 自然科學版, 2014, 34(6): 411-412.

[6] 沈麗萍, 王剛. 空間幾何元素一般相交問題的求解[J]. 沈陽大學學報: 自然科學版, 2014, 26(3): 255-258.

[7] 胥北瀾, 鄧宇. 機械制圖[M]. 武漢: 華中科技大學出版社, 2017: 52-56.

[8] 張慧云, 范競芳. 機械制圖[M]. 北京: 機械工業出版社, 2012: 52-53.

Imaginary Wall Method to Determine the Visibility of Line and Plane Intersection or Plane-Plane Intersection

WANG Lin, BI Yan

(Department of Mechanical and Electrical Engineering, WenHua College, Wuhan Hubei 430074, China)

An imaginary wall method is proposed to determine the visibility of line and plane intersection or plane and plane intersection. Three typical cases are discussed concerning the former topic: a line in the general position intersects with a plane in the special position, a line in the general position intersects with a plane in the general position, and a line in the special position intersects with a plane in the general position. Three typical cases are also discussed on the latter topic: the intersection of two planes both in the special position, a plane in the general position intersects with a plane in the special position, and the intersection of two planes both in the general position. The imaginary wall method can determine the visibility of line and plane intersection or plane and plane intersection quickly and accurately. This method can also provide some references for the learning and teaching in mechanical drawing courses.

line; plane; intersection; visibility

TP 126.2

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010207

A

2095-302X(2019)01-0207-05

2018-04-25；

2018-05-23

王 琳(1988-)，女，湖北武漢人，講師，碩士。主要研究方向為機械制圖、三維數字化設計教學與研究。E-mail：525498463@qq.com。

畢 艷(1983-)，女，湖北武漢人，講師，碩士。主要研究方向為機械制圖、三維數字化設計教學與研究。E-mail：13554328770@qq.com。