次分數布朗運動下帶紅利的兩值期權定價*

葉芳琴，劉文倩，林先偉

（1.汕頭大學商學院，廣東 汕頭 515063；2.汕頭大學理學院，廣東 汕頭 515063）

0 引言

1973年，Black和Scholes提出了著名的B-S定價公式，期權定價理論由此得到了迅速發展[1].然而，在實際的金融市場中，金融資產價格之間具有長期相關性等特點，且金融資產收益率呈現“尖峰肥尾”的特征.1989年，Peter[2]提出用分數布朗運動刻畫金融資產價格的變化過程.同時，Bjork和Hult[3]以及Kuznetsov[4]研究發現分數布朗運動描述金融資產的價格變化，會導致此時的金融市場允許有套利機會.國內外的大量學者，采用了修正的分數布朗運動來刻畫金融資產價格變化的行為模式，如次分式布朗運動.由于，次分式布朗運動是一種比分數布朗運動更為普遍的高斯過程，它不僅具有自相似性和長記憶性等分數布朗運動具有的性質，而且可將其應用于金融[5].Yan等人[6]給出了次分數布朗運動的隨機積分，并指出次分數布朗運動可以用來刻畫金融資產的隨機波動性.肖煒麟等人[7]研究了在次分式布朗運動環境下帶交易費用的備兌權證定價問題，通過引入關于次分數布朗運動的隨機積分和偏微分方程技術，得到了在次分數布朗運動下備兌權證的定價模型.李丹等人[8]研究了在次分數布朗運動環境下可轉換債券的定價問題，并通過次分數布朗運動的隨機積分理論和保險精算的方法，得到了可轉換債券的定價公式.

兩值期權（binary option）是一種新型的，具有不連續收益的期權.在到期日標的資產價格低于執行價格時該期權一文不值，而當標的資產價格超過執行價格時該期權一文不值，而當標的資產價格超過執行價格時該期權支付一個固定數額.關于兩值期權定價的相關研究相對較少.Thavaneswaran等人[9]用模糊集理論的方法對兩值期權的定價問題做了一定的研究.袁國軍[10]研究了CEV過程下一類兩值期權定價的數值解法問題等.

本文在上述研究的基礎上，探討了在次分數布朗運動下帶紅利的兩值期權的定價問題.利用隨機分析理論和偏微分方程的方法，建立了次分數布朗運動環境下兩值期權的定價模型.通過用偏微分方程的相關知識對此定價模型求解，得到了次分數布朗運動下兩值期權定價公式.

1 預備知識

兩值期權就是新型期權的一種，兩值期權是合同條款變化而產生的新型期權.一般分為兩種類型[11]：

（1）現金或無值看漲期權（簡寫為CONC）：在到期日，若股票價格低于執行價格，則期權價值為零；若大于執行價格，則按規定支付現金1元.

（2）資產或無值看漲期權（簡寫為AONC）：在到期日，若股票價格低于執行價格，則期權價值為零；若大于執行價格，則按規定支付股價.

引理[7]（次分數It?公式）假設隨機過程St滿足以下隨機微分方程：

2 基本模型

其中，r是常數，表示無風險利率.

風險資產（如股票）價格St滿足下面隨機微分方程：

在這里μ，σ是常數，分別表示預期收益率，波動率.

為了得到次分數布朗運動下兩值期權定價模型，我們考慮到期日為時間T，敲定價格為K，并作以下假設：

（1）假設資產價格滿足（2）式；

（2）無交易費用和稅收，允許賣空；

（3）不存在無風險套利機會；

（4）交易是連續進行的.

在風險中性測度條件下，我們利用Δ對沖策略，得到次分數布朗運動下兩值期權定價模型.令V＝V（St，t）表示CONC（或AONC）的價格.構造一個投資組合Πt，在時刻t投資組合 Πt的值為：Πt＝Vt－ΔtSt.應用次分數 It? 公式，在[t，t＋dt]時間段內，

為了使投資組合 Πt在[t，t＋dt]無風險，取，從而可得

由假設（3），可以得到

將式（3）代入（4），得到

因此，得到在次分數布朗運動下帶紅利的兩值期權定價模型如下：

這里，H（*ξ）是Heviside函數.如果ξ＞0，那么H（*ξ）＝1.如果ξ＜0，那么H（*ξ）＝0.

3 兩值期權定價公式

3.1 現金或無值期權定價公式

定理1 假設股票價格滿足（2）式，在時刻t現金或無值看漲期權的定價公式為：

證明：由方程組（5）可以得到現金或無值看漲期權定價模型如下：

因此方程組（6）轉變成如下方程組

將（8），（9）和（10）代入上述方程，可以得到

結合終值條件：α（T）＝β（T）＝γ（T）＝0，則得到

因此，方程組（6）轉化為如下行形式：

方程組（11）的解可以用Possion公式如下表示：

經過變量代換，我們有

推論1 假設股票價格滿足（2）式，在時刻t現金或無值看跌期權的定價公式為：

3.2 資產或無值期權定價公式

定理2 假設股票價格滿足（2）式，在時刻t現金或無值看漲期權的定價公式為：

證明：由方程組（6）可以得到資產或無值看漲期權定價模型如下：

令VA（CSt，t）＝StU（St，t），則，從而可得：

為求解上述 Cauchy 問題，作函數變換 W＝Ueβ(t)，η＝ξ＋α（t），＝γ（t），由于

將（15），（16）和（17）代入方程組方程（14），可以得到

方程組（18）的解可用Possion公式如下：

經過變量代換，則有

推論2 假設股票價格滿足（2）式，在時刻t資產或無值看跌期權的定價公式為：

本文在上述研究的基礎上，探討了在次分數布朗運動下帶紅利的兩值期權的定價問題.利用隨機分析理論和偏微分方程的方法，建立了次分數布朗運動環境下兩值期權的定價模型.利用偏微分方程的相關知識求解此模型，推導出了CONC和AONC定價公式，并在此基礎上得到了有關AONP和CONP定價公式的兩條推論.對于兩值期權定價，還有很多問題值得研究.例如，在帶跳的分數布朗運動或帶跳的混合分數布朗運動環境下研究此類問題.