基于全壽命分布退化模型的壽命預測方法

王碩 徐越

摘 要：本文以統計推斷方法為主，采用曲線回歸方法、極大似然估計的方法完成了對關鍵部件壽命分布規律性的分析、早期零件的壽命預測。建立全壽命分布的退化過程模型，利用全壽命分布規律判斷給出前期壽命的剩余零件壽命，采用擬合的預測方法，估計預測關鍵部件的剩余壽命。利用最大似然估計方法估計退化過程模型的參數，并比較預測模型的優越性和優缺點。

關鍵詞：壽命規律分布 ；回歸擬合；預測分析；全壽命分布的退化模型

一、零件壽命預測問題

目前，大部分機器由眾多零部件組成，結構復雜，不易維修，一旦出現零件損壞便不能正常運轉，降低機器使用性能，從而影響工作效率。筆者基于全壽命預測模型，假設退化函數，根據已知測量數據得出全壽命分布函數，周期性地估計其平均剩余壽命，并在其平均剩余壽命小于某個閾值時進行維護的策略，以最大效益提高使用性能，提高機器工作效率。

二、模型設計

由于零件壽命具有不確定性，即個別的數值過高或過低，對這些野點數據進行剔除，建立如下模型：

1.建立全壽命分布的退化模型

根據時間序列分析理論，任何時間序列數據都可以表示成多種形式，因不考慮季節性等特殊因素，識別數據的趨勢性，能反應出壽命特征的總體方向和長期發展趨勢。

零件壽命分布處于正態分布，并且正態分布主要適用于具有磨損等特征的機械件，如復雜系統中的半導體器件、硅 晶體管、變壓器、燈泡、電機繞組絕緣和減速器等[1]，其壽命分布函數和概率密度函數分別為：

當以檢測時間為序建立回歸模型時，考慮到同一時刻t下不同部件的性能指標服從正態分布：

關鍵部件的性能要求 綜合指標性能為X（t），即當時刻T，性能指標量當時刻T，性能指標量落入[0， ω]時，則認為時刻t產品處于正常狀態。

由于{X（t），t≥0}是隨機過程，因此T是一個隨機變量，需要通過它的分布函數F（t）來描述。

2. 利用全壽命分布的退化模型預測零件壽命

部件失效與退化量之間的精確關系可利用退化模型和數據的失效時間進行推斷和預測。通過建立退化量 X（ t） 與失效時間分布和可靠性函數 R（t） 之間的關系來建立壽命分布模型。

建立壽命分布模型的近似方法，這種方法包含兩個步驟。第一步是預測個體的退化超過失效閾值的時間，這些時間稱作偽失效時間；第二步將這n個偽失效時間視作完全樣本，對F（t）進行估計。由于所利用的失效時間是外推得到的，并不是實際的失效時間，因此該方法又稱作基于偽失效時間的估計方法。

該方法的具體描述如下：

（1） 利用非線性最小二乘法對樣品i，使用測量數據模型yij=xij+Зij和測量數據（yi1，ti1）…，（yimi，timi）得到βi=（β1i，…，βpi）的（條件）極大似然估計βi，。

（2）求解關于變量t的方程x（t，Bi）=l，解記為ti。

（3） 對每個樣品重復上述過程，得到n個偽失效時間t^1，t^2，……t^n。

（4）通過對數據t1，…，tn的單個分布的分析估計F（t）。

在某些情況下，對樣品的退化值或時間尺度或二者都進行對數變換，可以得到簡單線性軌道模型。在這種情形下偽失效時間為：

ti=（l-β1i）/ β2i

其中

β1i=Yi-β2i*ti，

β2i=

Ti= Yi=

式中：Ti，Yi分別是測量時間和測量數據的均值

在退化問題中，退化過程都是從 （ti1=0，yi1=0.2）開始。進一步的，如果退化速率是常數，則退化過程的樣本具有形式X（t）= β2t，偽失效時間為：

ti=l/β2i

β

2i= /

使用壽命就是從產品制造完成到出現不可修復的故障或不可接受的故障率時的壽命單位數，是一個隨機變量，用T表示。壽命分布函數又稱累積失效函數，也稱累積故障概率 [2]。系統的剩余壽命定義為當前時至發生失效這段時間的長度，m時刻的剩余壽命記為為Tm，剩余壽命分布記為Fm（t），可靠度記為Rn（t），概率密度函數記為fm（t），m時刻剩余壽命的均值為：

假設 和 是服從一次高斯分布的，因此：

建立似然函數，取相同的極大值點。

基于極大似然估計法，通過對 和 ，對關鍵部件t時刻求出相應的值，然后利用極大似然估計求取最優參數 和 。求出參數后就可以求出其余關鍵部件的可靠度，即 R（t）=1-F（t）。

三、結論

1.對于簡單的問題，近似退化分析法是比較有效的，因為計算簡單，規律性強。

在以下條件下，近似方法可以給出足夠充分的分析：

1）退化過程的樣本路徑相當簡單。

2）擬合的退化模型近似正確的數據估計B的值。

3）存在足夠的數據估計βi的值。

4）測量誤差比較小。

5）在預測“失效時間”t時不需要太多的外推。

然而使用近似退化法也有潛在的困難或問題，體現在：

1）這種方法忽略了t的預測誤差，并且沒有考慮觀測的樣本路徑的測量誤差。

2）擬合偽失效時間的分布通常并不對應于由退化模型導出的分布。

3）對某些應用來說，可能得不到足夠的數據對所有參數都進行估計（例如，如模型具有漸近線但是樣本路徑還沒有到達平穩階段）。這可能導致對不同的樣本路徑擬合不同的模型。

總的來說，使用退化模型隱含的首達時間的分布外推到失效時間分布的尾部，比用經驗預測的失效時間的分布更有效。

參考文獻：

[1]中國知網，基于壽命預測的預防性維護維修策略http：//www.cnki.net.2018年6月11日。

[2]陳亮，胡昌華.基于退化建模的可靠性分析研究現狀[J].控制與決策，（2009） 09-1281-07