基于最小二乘法的NAR模型及其在沉降預測中的應用

范成成，張俊

(貴州大學礦業學院，貴州 貴陽 550025)

1 引 言

現代建筑物的地基壓力不斷增大，必然會引起建筑物地基及周邊環境的形變，當變形達到一定的極限，就會對建筑物主體結構產生破壞，間接對周圍環境造成巨大的經濟損失。目前，針對不同建筑的沉降監測數據處理預報，不同的研究人員提出了不同的方法。對于軟土路基礦區等監測多見AR模型[1，2]對其進行處理分析。對于隧道的基坑監測多使用灰色模型[3，4]進行處理。當然，也有利用其他模型來進行平差處理及預報，如Gompertz模型、Verhulst優化模型、Lstsvr模型等[5，6]。

本文在AR模型的基礎上，提出了NAR模型[7，8]的最小二乘法解算方法解算模型的參數并用所求參數帶入模型對所觀測的數據進行處理和模擬預報及精度評定，再與AR模型所處理的數據及原始觀測值進行對比，由二者對比結果分析得出，NAR模型在沉降監測預報中的可行性，且與AR模型所預報值相比較為穩定。

2 模型簡介

2.1 AR模型的最小二乘法

AR模型是一種線性時間序列模型，在工程實踐和定位導航等方面都有著廣泛應用[9，10]。AR模型公式如下：

(1)

對式(1)用矩陣形式可以寫為：

L=BX

(2)

(3)

X=(BTPB)BTPL

(4)

以上就是AR模型的最小二乘解法。其單位權中誤差可用下式進行評定：

(5)

其中V=BX-L。P為權陣，定權需要根據實際觀測情況。一般觀測都是在同等條件下進行，故P可視為單位權矩陣。

2.2 基于SVD的AR模型總體最小二乘解法

總體最小二乘平差方法是一種顧及系數矩陣誤差的一種解算方法，此方法的提出是因為僅用經典最小二乘平差會忽略掉系數矩陣的誤差，因此，總體最小二乘的提出大大解決了此問題。

結合AR模型，其總體最小二乘的函數模型可以寫成下列形式：

(A+△A)X=L+△L

(6)

式中△A表示系數矩陣的誤差，△L表示觀測值誤差。將模型進一步表示為：

(A+EA)X=L+e

(7)

式(7)中：

將增廣矩陣進行奇異值分解：

(8)

上式中，

所以，總體最小二乘的參數解便可由VT的最后一列求得，即：

(9)

以上就是AR模型的總體最小二乘奇異值解法，其單位權中誤差也可用下式進行評定[11]：

(10)

同樣V=AX-L。

3 NAR模型及其最小二乘解法

NAR模型也是一種時間序列的非線性自回歸模型，其模型公式為：

zt=g(zt-1，zt-2，…，zt-p)+εt

(11)

式中g(zt-1，zt-2，…，zt-p)表示非線性函數，t為時間序列，其值為1，2，…N。上式可用多項式的非線性AR模型進行逼近[8]，即：

(12)

利用式(12)結合最小二乘法，將其寫為矩陣形式：

L=BX+ε

(13)

S為多項式階數。所以由系數矩陣B，觀測值L，利用經典最小二乘平差得出參數求解公式：

(14)

其余部分與AR模型最小二乘解法一致。

4 算例分析

4.1 實測沉降數據

為了驗證此模型的可行性與精度，本文采用文獻[11]中的例題5.6的實測沉降數據來對NAR模型進行驗證，并與AR模型進行對比。此實測數據用AR(3)模型進行擬合，故在NAR模型中也效仿AR模型采用3階進行參數求解。

用本文模型的最小二乘算法、AR最小二乘法及其SVD法三種方法所引用的數據所求得的參數估值及單位權中誤差如表2所示。表1所示的是三種平差方法所求得的平差值和實測觀測沉降數據。圖1顯示了三種方法平差結果和原始觀測值的殘差絕對值的對比。

形監測點的實測沉降數據 表1

三種方法的參數值及單位權中誤差 表2

從表2可以看出AR模型的最小二乘法和其SVD法所求的單位權中誤差明顯大于NAR模型所求得的單位權中誤差，由表1和圖1可知，NAR模型的最小二乘和AR模型的最小二乘平差結果比較接近，而AR模型的SVD法的結果與前兩者相差較大。一方面可能是由于總體最小二乘方法的奇異值分解理論未完善，另一方面可能由于本文所引用的數據為非平穩的自回歸時間序列[9]。在其他期兩種模型的最小二乘法走勢相對一致時，可以看出第13期、17期、16期的NAR模型處理的結果較好。

圖1 三種方法平差結果與原始觀測值的比較

4.2 預報分析

前文檢測了NAR模型方法的內符合精度，接下來用前30期的觀測值來驗證NAR模型的外符合精度。也是采用兩種模型的最小二乘法和AR模型的SVD法求解系數并預測31期到36期的沉降數據。根據前30期的實測數據所求得的參數及預報值如表3所示，圖2所表示的是NAR模型LS法、AR模型的LS法和AR模型SVD法的預報結果與實測觀測值的殘差絕對值對比，圖3是三種方法與原始值的走勢對比。

四種方法的預報 表3

圖2 三種方法預報結果的殘差絕對值比較

圖3 三種方法預報值與原始值對比

經過計算，NAR模型LS法、AR模型LS和SVD法預報值的單位權中誤差分別為 0.775 0、0.809 1、1.036 2。可見NAR的單位權中誤差最小。由表3和圖2可以看出，在第31期～第36期的數據中，NAR模型所預報的值與真值相比，效果相對于AR模型來說較穩定，波動性小。AR模型的SVD方法所預報的效果波動性大且效果最差；圖3可以看出NAR模型預測值的折線比較靠近原始觀測值，且結合圖2、圖3，在第34期可以看出當AR模型的波動較大時，NAR模型預測結果較好，可見NAR模型在處理此類3階數據時的抗差力較強于AR模型。所以，NAR模型的外符合精度在此也能得以驗證。

5 結 語

通過以上的結果證明，NAR模型應用在沉降變形監測的工程實例中是可行的，無論是NAR模型還是AR模型，由于其模型的特殊性可知，其觀測向量和系數矩陣的誤差同源，經過多次的重復迭代，系數矩陣元素誤差也會影響觀測向量。盡管經典最小二乘平差法理論上不能處理系數矩陣誤差，宜采用整體最小二乘法，但是，由于整體最小二乘法的理論仍未完善導致基于SVD法的AR模型總體最小二乘結果較差。本文對實測數據處理結果可以看出基于最小二乘的NAR模型在變形沉降數據處理中可以得到比AR模型更高更穩定的預測外符合精度。