具有可乘白噪聲的非自治FitzHugh-Nagumo格點系統的隨機指數吸引子

周盛凡, 伍璐瑤, 蘇海娟

(浙江師范大學 數學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

FiztHugh-Nagumo系統主要用于描述神經生物學中軸突的信號傳遞,并被廣泛研究[1-9].文獻[7-9]研究了具有可加可乘白噪聲、隨機耦合系數的FiztHugh-Nagumo格點系統的隨機吸引子的存在性.但對隨機FiztHugh-Nagumo格點系統的隨機吸引子維數的有界性與吸引軌道速率的研究未見報道.

本文研究如下具有可乘白噪聲的非自治FitzHugh-Nagumo格點系統的隨機指數吸引子的存在性:

(1)

式(1)中:i∈Z;λi>0;ui∈R;vi∈R;g1i(t)∈R;g2i(t)∈R;fi(ui,t)∈R;u=(ui)i∈Z;ε∈R;δ>0;σ>0;A是線性耦合算子;w(t)是概率空間(Ω,F,P)上一個雙邊實值Wiener過程,其中Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0},F是Ω的緊開拓撲誘導的Borelσ-代數,P為F上的維納概率測度[10].

文獻[11]給出了余圈的隨機指數吸引子的存在性條件,并應用于有可乘白噪聲的一階非自治格點系統的隨機指數吸引子的存在性.本文將結合文獻[7,9,11]中的方法,考慮系統(1)在一定條件下、在無窮序列加權空間中的隨機指數吸引子的存在性,從而得到了系統(1)的隨機吸引子的分形維數和拓撲維數的有界性,還得到了隨機指數吸引子指數吸引軌道的速率.

1 余圈的隨機指數吸引子

將文獻[6]中的定理4.1和文獻[11]中的定理2.1,2.3,2.4的證明過程稍作修正和改進即可得到以下定理:

那么,{Φ(t,τ,ω)}t≥0,τ∈R,ω∈Ω有一個隨機指數吸引子{K(τ,ω)}τ∈R,ω∈Ω,具有以下性質:對任意τ∈R,ω∈Ω,t≥0,有：

2)Φ(t,τ,ω)K(τ,ω)?K(t+τ,θtω);

2 非自治隨機FitzHugh-Nagumo格點系統的隨機指數吸引子

考慮系統(1),它可以寫成以下向量形式:

(2)

式(2)中:u=(ui)i∈Z;λu=(λiui)i∈Z;f(u,t)=(fi(ui,t)i∈Z);gj(t)=(gji(t))i∈Z,j=1,2.

設權函數ρ:Z→R+和系統(2)中的A,λ,f(u,t),g1(t),g2(t)滿足下列條件:

m0∈N;與D在2中共軛:?

(A3)g1(t)=(g1i(t))i∈Z,g2(t)=(g2i(t))i∈Z,h(t)=(hi(t))i∈Z∈G,其中

(4)

(5)

(6)

由常微分方程解的存在唯一性理論和余圈的性質,得到如下定理:

2.1 先驗估計

記

令

(7)

(8)

則存在TB0(ω)≥0(與τ無關),使得?τ∈R,當t≥TB0(ω)≥0時,

(9)

(10)

選擇光滑函數θ∈C1(R+,R),滿足

(11)

式(11)中,C1>0為正常數.

式( 12) 中:

(13)

2.2 隨機指數吸引子

現在用定理1證明:在條件(A0)～(A5)成立時,余圈Ψ存在隨機指數吸引子.

對任意τ∈R,ω∈Ω,令

下面證明Ψ在 {χ1(τ,ω)}上滿足定理1的條件(H2).

(14)

(15)

(16)

式(16)中,

(17)

證明 設

那么,對r≥τ-t,有

(18)

(19)

于是,分別用q(r),ξ(r)對式(18)作內積,且由Gronwall不等式得:當M≥2I時,

(20)

式(20)中:

由式(20)得:對M≥2I,

(21)

定理7假設系數ε與ν=ν0>0滿足

定理8假設(A0)～(A5)成立,那么

定理7、定理8的證明類似于文獻[11]中的引理3.9和引理3.10,故略.

由定理1、定理5、定理7、定理8和文獻[11]的定理2.2,得到本文的主要結果:

定理9假設(A0)～(A5)和式(15)成立,那么{Ψ(t,τ,ω)}t≥0,τ∈R,ω∈Ω有隨機指數吸引子{A(τ,ω)}τ∈R,ω∈Ω,具有以下性質:對任意的τ∈R,ω∈Ω,t≥0,有：

2)Ψ(t,τ,ω)A(τ,ω)?A(t+τ,θtω);

3 結 語

本文主要考慮系統(1)在一定條件下,在無窮序列加權空間中隨機指數吸引子的存在性.首先介紹了定義在無窮序列加權空間上的連續余圈(或稱為非自治連續隨機動力系統)的隨機指數吸引子的存在性判據;再利用Ornstein-Uhlenbeck過程將具白噪聲的FitzHugh-Nagumo 格點系統(2)(或系統(1))轉化成具有隨機參數而無噪聲的隨機系統(6);最后證明該系統(6)存在隨機指數吸引子.

本文結果表明:在一定條件下,系統(1)的隨機吸引子具有有限的分形維數,這蘊含著系統(1)的解的漸進行為可由有限個參數來描述,進而從動力學的意義上來說,可以把原來是無窮維的系統轉化為有限維的系統.

后續研究:將考慮系統(1)的隨機指數吸引子關于參數ε的連續性及在什么條件下會有無窮維隨機吸引子等問題.