數學悖論發展概述

孫紹航

【摘要】悖論是數學等自然科學和哲學中經常出現的話題，對各種自然科學和哲學做出了諸多貢獻。從悖論的簡介，悖論的歷史，典型的悖論例子及悖論的影響來介紹悖論對于數學等科學和哲學方面的影響和貢獻。

【關鍵詞】數學悖論 說謊者悖論 羅素悖論

一、引言

悖論也叫逆論和反論，指自相矛盾的荒謬結論。悖論是一個與數學物理等自然科學以及哲學、語言學息息相關的論題，對數學史的推進和發展起到了重要的作用。悖論主要有三種形式：第一種叫做佯謬，指的是某論斷貌似一定是錯誤的，其實是正確的；第二種叫似是而非的悖論，指的是某種論斷貌似一定是正確的，實際上是錯誤的；第三種叫做邏輯悖論，是指前提沒有明顯錯誤的情況下，經過一系列看似正確的推理，得出了兩個完全相反的結論。本文將對數學悖論的歷史、經典的數學悖論及數學悖論的影響進行簡要介紹。

二、數學悖論的歷史

第一次數學危機與畢達哥拉斯悖論有著密不可分的聯系。畢達哥拉斯悖論產生的時代，數系正在從自然數向有理數進行擴充。當時的人們認為，所有數都可以由有理數來表示，即表示為兩個整數的比值，但希帕索斯卻發現了“等腰直角三角形的直角邊和斜邊不可公度”的悖論。相傳希帕索斯在船上劃出了一個邊長為1的等腰直角三角形，而被畢達哥拉斯派的人扔進海里。正是這個發現引起了數學思想的巨大變革，數學史上將其稱為“第一次數學危機”。此后，越來越多的悖論相繼被提出，人類的數學思想因此也更進一步。

三、經典的數學悖論

1.說謊者悖論

說謊者悖論最早被提出是在公元前六世紀。在一個叫做克里特島的地方，有一面墻上寫著一句話“寫在這面墻上的話是假的”，這是這面墻上的唯一一句話。我們不妨設這句話所敘述的命題為Q，當人們對這句話的真假進行判斷時就會陷入矛盾：如果Q為真，則墻上的這句話是真話，與話中“墻上的話是假的”矛盾；如果Q為假，則墻上的是假話，話中“墻上的話是假話”則是真話，也同樣存在矛盾。以上便是說謊者悖論的完整內容。說謊者悖論中，“在這面墻上的話”來指代“這面墻上寫的話是假的”是“以部分指代整體”，所以這種因部分的真實存在而違背了整體存在的辯證規律是由于主觀虛構與思維混亂造成的，因為上述的辯證規律必須以客觀存在為根據。說謊者悖論事實上是人類的認識發展到某一個層次后，對自己的語言進行的一種檢討思索，在世界各地古代的各種不同的書籍中也都有關于說謊者悖論的記載。中國的墨子曾說過一句話，大意是：若一句話為真話是成立的，那么這句話為真話也是假的。由此可見，說謊者悖論所涉及的語言問題是每一個民族在發展過程中都要經歷的一個反思過程。

2.羅素悖論

在20世紀初，科學界都沉浸在一片寧靜祥和中，當時的數學家普遍認為科學大廈已經基本建成，剩下的科學家只能對大廈進行一些點綴和修補。法國大數學家彭加萊更是曾公開宣稱：數學的嚴格性已經實現了，然而時隔不到兩年，羅素悖論的發現就結束了大家的美夢。羅素悖論是世界上最著名的悖論之一，它是由羅素在1902年提出的，是由羅素發現的一個集合論悖論。

羅素在解決集合論問題時將集合分為兩種：第一種是自身元素的集合，第二種集合為不是自身元素的集合。接下來，假設S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x∣x ∈S}”。則S是否包含于S？如果假設S包含于S，則不符合題中x ∈S，所以S包含于S不成立；假設S不包含于S，于是就符合x ∈S，可推出S包含于S，但因為假設中S不包含于S，與S包含于S矛盾，所以假設也不成立。在悖論提出后，人們紛紛尋找著解決的辦法，有些人希望對康托爾的集合論進行改造，通過對集合添加限制而排除悖論，但這需要建立新的規則，并且規則必須足夠嚴格才能保證排除所有矛盾，但同時規則又必須盡可能廣闊，才能令康托爾集合論原來的內容盡可能的留下來。1908年，策梅洛提出了第一個公理化集合論體系，在很大程度上彌補了集合論所體現出的漏洞，從而較為成功的解決了人類數學史的第三次危機。同時，羅素悖論的提出也促使人們開始再次研究基礎數學。

羅素悖論是如何被解決的呢？在研究的初級階段，人們將羅素悖論認為是整體與部分的關系，部分學者認為羅素悖論混淆了整體與部分之間的關系，但在不斷的研究中發現這種解釋無法接近羅素悖論的實質，原因有以下幾點：其一，如果羅素悖論可以認為是整體和部分之間關系的混淆，則可以用不矛盾律來進行排除，但事實上人們無法用不矛盾律排除這種可能性；其二，如果在康托爾集合論中出現邏輯矛盾，康托爾集合論體系應該可以自己解決，這種現象也同樣適用于各種體系，但悖論卻有不同，在集合論體系內出現的悖論在該集合論體系中是無法理解的，體系本身更無法合理的進行解釋；其三，悖論在形式上與邏輯矛盾也有不同。悖論的含義是在某個知識體系出現一個命題Q時，由Q可以推導出非實際情況，而出現非Q命題時，Q可以由非Q推導出。而邏輯矛盾的形式意義是某一個知識系統里獨立的出現Q和非Q兩個命題，所謂獨立是指Q和非Q兩個命題是根據這個知識系統的不同的部分推出的互斥命題，Q不是從非Q推出的，非Q也不是從Q推出的。因此從形式上來看，悖論與邏輯矛盾也不能畫上等號。

羅素悖論的實質在于，它把康托爾集合論的知識發展到了集合論的有效領域外，在有效領域外羅素提出了他的悖論。康托爾集合論的主要理論基礎是概括公理與外延公理。因此，康托爾公理具有了以下基本特征：其一是選集的任意性，即在一定的條件下一定會存在一個集合；其二是對于任意的條件，集合都是相互不同的，這說明集合論只對世界上界限分明的物體有效，而對那些似是非是的物體無效。羅素悖論的提出，促使人們對集合論進行了進一步的研究，引起了人們對數學基礎理論的重視，所以被人們傳頌，成為了世界上最有名的悖論之一。

四、悖論的影響

每一個悖論的提出都會引起人們對于已有觀念的反思甚至重建，使人們重視起原來被忽視的一些問題，這就是悖論的意義。例如，畢達哥拉斯悖論的出現使人們意識到：當時的數系并不足以表示他們所能接觸到的所有數字，所以出現了第一次數學危機，也借此對已有數系進行了擴充；說謊者悖論的提出，讓人們意識到了語言系統還存在一些小的瑕疵，產生了邏輯矛盾的情況，促進了人們對于語言的完善豐富；羅素悖論的提出則使人發現集合論的有效范圍是有限的，才讓后人改進形成了可拓集合論，而其他諸如量子悖論等著名的悖論也都在不同的領域發揮了作用。人們在發現矛盾之后，從問題的本質出發，思考悖論在邏輯的本質上存在的矛盾，建立新的體系或者是在原有的體系上進行完善來避免這些矛盾的產生，從而使得體系變得更加完善，這就是悖論對于自然科學和哲學的影響。

五、總結

任何一個學科的發展歷程都不是一帆風順的，悖論就是一種促進學科發展的方式，雖然這種發展方式不太平穩，但是總能引起人們對于當時一些根深蒂固思想的革新。由于悖論可能導致人們對一些重要或是十分基礎的理論做出懷疑，所以可能會引發人們的慌亂，但是在解決悖論的過程中，知識體系的擴充會給學術界帶來新的知識與新的力量，在給人們帶來慌亂之后，也給人們帶來新的曙光。

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