層狀TI介質(zhì)中球面波的時域響應數(shù)值分析

張艷菊，巴振寧

（1.中國人民武裝警察部隊后勤學院后勤保障系，天津300309；2.天津大學 土木系，天津 300072；3.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室，天津 300072）

2002年朱傳云等利用彈性球面波勢函數(shù)進行了《爆炸應力波近似處理的分析與研究》[1]文中指出：爆炸時彈性球面波能否按平面波近似計算，其決定性影響因素是距離。一般當距離在2m～5m范圍以外時，誤差小于5%，彈性球面波即可近似按平面波處理，否則不能按平面波近似計算[1]。2004年國勝兵等基于有效應力動力分析法，對地下結(jié)構(gòu)在豎向和水平爆炸地震波荷載作用下的動力響應進行數(shù)值分析[2]；2005年朱波等利用波動有限元方法進行了鉆地炸彈近爆地下工事動力響應數(shù)值分析，其本質(zhì)仍然是利用波動方程，首先在空間域離散成各質(zhì)點振動方程，然后將質(zhì)點振動方程在時間域上離散成為代數(shù)方程求解[3]。2014年馮慧平等采用多物質(zhì)流固耦合計算方法，對地下坑道對其臨震塌爆距處鉆地武器爆炸荷載的動力響應問題進行了研究[4]。但利用格林函數(shù)對爆炸波在TI介質(zhì)中的動力響應規(guī)律的研究還較為少見。目前，Khojastech et al.(2008)[5，6]分別研究了TI全空間和半空間中的動力格林影響函數(shù)；Khojasteh et al.(2011)[7]采用傳遞矩陣方法研究了層狀TI半空間的格林函數(shù)；Ai Zhiyong et.al（2014）[8]利用傳遞矩陣方法研究了對稱荷載作用下二維層狀TI半空間的動力響應問題；Chen(2015)[9]利用PIM方法研究了層狀各向異性半空間中的三維格林影響函數(shù)。近年來，隨著格林函數(shù)研究的不斷完善，利用格林函數(shù)探索彈性波動力響應問題成為研究的熱點，利用格林函數(shù)解決爆炸波在TI介質(zhì)中的動力響應問題十分必要。目前，格林函數(shù)時域變化規(guī)律的研究還不夠充分，因此，本文從格林函數(shù)時域數(shù)值結(jié)果入手，研究時域內(nèi)格林函數(shù)在TI半空間和TI單一土層中隨時間變化的規(guī)律，為研究爆炸波在層狀TI介質(zhì)中的動力響應問題奠定基礎(chǔ)。本文利用頻率-空間域內(nèi)球面波在TI介質(zhì)中的動力響應，通過傅里葉逆變換得到時域內(nèi)的動力響應結(jié)果，并對時程結(jié)果進行計算分析得出有益結(jié)論。

1 模型與求解

本文的計算模型如圖1所示，由N層TI土層和下臥基巖組成層狀TI均勻半空間，每層土的材料特性由該層的質(zhì)量密度、泊松比、模量等參數(shù)決定。各TI土層具體參數(shù)為：質(zhì)量密度ρLj，豎向泊松比，水平泊松比，阻尼比ζLj，豎向彈性模量，水平彈性模量和豎向剪切模量，而水平剪切模量由土層水平彈性模量和泊松比即可確定為。復剪切模量、和每層土的厚度hj，（j=1…N ）；基巖參數(shù)包括質(zhì)量密度ρR，豎向泊松比，水平泊松比，阻尼比ζR，豎向彈性模量，水平彈性模量，豎向剪切模量，水平剪切模量由基巖水平彈性模量和泊松比即可確定為。復剪切模量。圖1中集中荷載作用位置為（0，0，zf），水平和豎向荷載大小分別為Fh和Fz。

在柱坐標系下，利用Lekhnistskii(1963)[10]，Eskandari-Ghadi et al.(2005，2011)[11，12]，Rahimian(2007)[13]，Khojastech et al.(2008)[6]給出的柱坐標系下的解，建立反軸對稱和軸對稱剛度矩陣。推導出TI層狀半空間的剛度矩陣，進而求解格林影響函數(shù)。而時域格林影響函數(shù)則可通過對頻域結(jié)果的傅里葉逆變換求得。因此參照文獻[6]的方法，求得空間域球面波作用下的位移和應力如公式（1）和（2）所示：

將公式(1)和（2）中球面波作用下的位移和應力動力響應，對時間進行傅里葉逆變換可得到時域內(nèi)的計算結(jié)果，其逆變換具體形式如下：

2 數(shù)值結(jié)果

以集中荷載分別作用于3種TI均勻半空間和基巖上3種單一TI土層為例進行數(shù)值計算分析。基巖和土層的計算參數(shù)如表1所示，基巖參數(shù)包括：質(zhì)量密度ρR，水平泊松比，豎向泊松比，水平阻尼比，豎向阻尼比，水平彈性模量，豎向彈性模量，水平剪切模量和豎向剪切模量；表中土層參數(shù)包括：質(zhì)量密度ρL，水平泊松比，豎向泊松比，水平阻尼比，豎向阻尼比，水平彈性模量，豎向彈性模量，水平剪切模量和豎向剪切模量，當所取土層與基巖參數(shù)相同時即為均勻半空間。zf為集中荷載埋置深度，土層厚度為h。頻域計算中定義無量綱頻率為η=ωd/c*，時域計算中定義無量綱頻率為η=ωd/ 2πc*，為土層的豎向剪切波速。以下計算中：定義無量綱位移和應力為，其中d為無量綱單位長度。

表1 模型的計算參數(shù)

2.1 格林影響函數(shù)時程曲線

圖2首先給出了埋置荷載和計算面和計算點的位置圖。模型參數(shù)如表1所示，以集中荷載分別作用于3種TI均勻半空間和基巖上3種單一TI土層為例，求解了水平和豎向簡諧集中荷載分別作用時，4個不同位置觀測點的動力格林影響函數(shù)。輸入Ricker時程為特征頻率定義為為土層的豎向剪切波速（均勻半空間情況為均勻半空間豎向剪切波速），土層厚度h=5d，集中荷載埋深zf=3d。時域動力響應通過對頻域內(nèi)動力響應的積分求得，計算時半空間情況采用表1中3種TI均勻半空間的參數(shù)，基巖上3種單一TI土層情況采用表1中基巖B和3種TI土層的參數(shù)，計算中無量綱頻率計算范圍為η=ωd/ 2πc*=0.0-6.0，采用分段高斯積分完成，共取積分頻率點200個，無量綱時間τ=tc*/d=0-12。4個不同位置的觀測點取自荷載下方zp=4d的水平面內(nèi)，具體分布位置如圖2（b）所示，其坐標分別為：A（d，d，4 d），B（3 d，d，4 d），C（d，3 d，4 d），D（3 d，3 d，4d）。無量綱位移無量綱應力。

圖2 荷載和計算點布置圖

圖3和4首先給出了均勻半空間中分別作用水平和豎向簡諧集中荷載時對應不同觀測點的位移幅值時程和以及應力幅值時程，圖中τ為無量綱時間。

圖3 集中荷載作用下的均勻半空間中各觀測點位移時程

從圖3中半空間的位移時程結(jié)果可以看出，各向同性介質(zhì)（半空間2）與TI介質(zhì)的位移時程有明顯差別，且同一材料對應的各觀測點位移時程也有顯著差別。首先，從文獻[14]的波速計算公式中可以看出，各向同性介質(zhì)（半空間2）中P波和S波沿任意方向的傳播速度是相同的，而TI介質(zhì)中P波和S波的傳播速度沿不同方向是不一樣的，同時SV波與SH波的傳播波速也不再相同，因此橫波出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，即S波分裂成SV波與SH波，這一現(xiàn)象在B點的水平向位移的時程曲線和C點水平向位移的時程曲線圖中表現(xiàn)的十分明顯。其次，TI性質(zhì)對位移時程有顯著影響，隨水平向模量（主要是Eh）的增大，水平激勵產(chǎn)生的P、SV和SH波的傳播速度增大，位移時程不斷提前（波到的越早），位移幅值逐漸減小，且水平位移時程的差異較豎向位移的差異更顯著。最后，TI介質(zhì)具有對稱性，對比同一介質(zhì)的不同觀測點位移時程發(fā)現(xiàn)，兩觀測點A和D的水平向位移與時程曲線相同；觀測點B和C的豎向位移時程曲線相同；觀測點B的水平位移與觀測點C的水平位移時程曲線相同，反之亦然。

再者，比較圖3(a)與圖3(b)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，水平荷載激勵產(chǎn)生波的傳播速度與豎荷載激勵產(chǎn)生波的傳播速度不相同，隨著水平模量（主要是Eh）的增大，水平荷載激勵產(chǎn)生的橫波的速度不斷增大，橫波到時逐漸提前，而豎向荷載激勵產(chǎn)生的橫波的速度略減小，橫波到時略延遲。

最后，對水平荷載激勵下直達波的到時進行計算并統(tǒng)計于表2中，我們發(fā)現(xiàn)：隨水平向模量（主要是Eh）的增大，P、SV和SH波的傳播速度逐漸增大，對應P、SV和SH波的到時也不斷提前；且直接計算的結(jié)果（表2）與對頻率進行傅里葉逆變換的結(jié)果（圖3）十分吻合，進一步驗證本文的正確性。

圖4 集中荷載作用下的均勻半空間中各觀測點應力時程

表2 三種Tl介質(zhì)中波速與波的到時統(tǒng)計

從圖4中半空間的應力時程結(jié)果可以看出與位移時程相類似的規(guī)律。各向同性介質(zhì)（半空間2）與TI介質(zhì)的應力時程有明顯差別，且同一材料對應的各觀測點應力時程也有顯著差別。

TI性質(zhì)對位移時程有顯著影響。首先，在TI介質(zhì)中波速受傳播方向的影響，橫波亦是出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，即S波分裂成SV波與SH波，這一現(xiàn)象在B點應力時程曲線和C點應力時程曲線圖中表現(xiàn)的十分明顯。其次，隨水平向模量（主要是Eh）的增大，水平激勵產(chǎn)生的P、SV和SH波的傳播速度增大，波的到時不斷提前（波到得越早），應力幅值逐漸減小，且剪應力時程的差異較正應力的差異更顯著。另外，TI介質(zhì)具有對稱性，對比同一介質(zhì)的不同觀測點應力時程發(fā)現(xiàn)位與移時程類似的規(guī)律，觀測點A和D的剪應力時程曲線相同；觀測點B和C得正應力 時程曲線相同；觀測點B的剪應力與觀測點C的剪應力的時程曲線相同，反之亦然。

圖5 集中荷載作用的基巖上單一TI土層中各觀測點位移時程

圖5給出了基巖上單一土層中分別作用水平和豎向簡諧集中荷載時對應不同觀測點的位移幅值時程u*、v*和。w*圖5與均勻半空間圖3的結(jié)果相比較，除了具有與半空間類似的規(guī)律外（①波速值隨傳播方向改變，②橫波分裂，③TI介質(zhì)對稱性），TI土層的存在使位移和應力幅值都減小了。另外，由于基巖的存在，使得圖5的位移時程曲線較均勻半空間情況更為復雜。不僅有荷載激勵直接產(chǎn)生的P、SV和SH波，還有從土層與基巖交界面反射回來的反射P、SV和SH波，直達波與反射波的疊加使得結(jié)果更加復雜。

2.2 格林影響函數(shù)時域云圖

仍以集中荷載分別作用于3種TI均勻半空間為例，求解水平和豎向簡諧集中荷載分別作用時，在荷載下方zp=4d的水平面內(nèi)，以原點（0，0，0）為圓心，r=5d為半徑的圓盤內(nèi)均勻取2601個計算點，圖6和圖7給出了集中荷載作用時，該圓盤內(nèi)計算點在某些時刻τ的位移云圖。輸入Ricker時程為，特征頻率定義為為半空間的豎向剪切波速，時域動力響應通過對頻域內(nèi)動力響應的積分求得。計算時采用表1中3種TI均勻半空間的參數(shù)，計算中無量綱頻率計算范圍為η=ωd/ 2πc*=0.0-6.0，共取積分頻率點200個，采用分段高斯積分完成。

其次，位移幅值時域云圖表現(xiàn)出了對稱和反對稱性質(zhì)。比如，圖6(a)水平荷載作用時的水平位移云圖與7(b)豎向荷載作用時的豎向位移云圖關(guān)于水平坐標軸（x、y軸）對稱；圖6(b)水平荷載作用時的豎向位移云圖與圖7(a)豎向荷載作用時的水平位移云圖關(guān)于x坐標軸對稱，關(guān)于y坐標軸反對稱。

圖6 水平集中荷載作用下位移云圖

圖7 豎向集中荷載作用下位移云圖

最后，比較圖6(a)與7(b)的云圖發(fā)現(xiàn)，TI介質(zhì)中水平荷載激勵產(chǎn)生的波的速度與豎向荷載情況不同，隨著水平模量的增大，水平荷載激勵產(chǎn)生的波的速度不斷增大，而豎向荷載激勵產(chǎn)生的波的速度略減小，這正好解釋了2.1節(jié)中，水平荷載作用下水平位移與豎向荷載作用下豎向位移時程中波的到時為何是不同[15]。

3 結(jié)論

本文根據(jù)TI介質(zhì)中的波動方程利用Hankel積分變換和傅里葉級數(shù)展開求解出位移勢函數(shù)，進而推導出TI層狀場地反軸對稱（SH）和軸對稱（P-SV）精確動力剛度矩陣，然后利用直接剛度法進一步推導出TI層狀介質(zhì)中埋置集中荷載的動力格林影響函數(shù)公式，最后對頻率進行傅里葉逆變換推導出時域的計算公式。文中以3種TI均勻半空間和基巖上3種TI單一土層中集中荷載作用下的格林函數(shù)為例，分別在頻域和時域內(nèi)進行了數(shù)值計算分析，得到了一下主要結(jié)論。

（1）TI均勻半空間中位移和應力的時程結(jié)果表明：首先，各向同性介質(zhì)中P波和S波沿任意方向的傳播速度是相同的，而TI介質(zhì)中P波和S波的傳播速度沿不同方向是同的，SV波與SH波的傳播波速也不再相同，且橫波出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，即S波分裂成SV波與SH波。其次，TI性質(zhì)對位移時程有顯著影響，隨水平向模量（主要是Eh）的增大，水平激勵產(chǎn)生的P、SV和SH波的傳播速度增大，位移時程不斷提前（波到的越早）。最后，TI介質(zhì)具有對稱性，對比同一介質(zhì)的不同觀測點位移時程發(fā)現(xiàn)，兩觀測點A和D的水平向位移和應力時程曲線相同；觀測點B和C的豎向位移和應力時程曲線相同；觀測點B的水平位移應力分別與觀測點C的水平位移和應力時程曲線相同，反之亦然[16]。此外，水平荷載激勵產(chǎn)生的波的傳播速度與豎荷載激勵產(chǎn)生的波的傳播速度有差別，隨著水平模量（主要是Eh）的增大，水平荷載激勵產(chǎn)生的橫波的速度不斷增大，橫波到時逐漸提前，而豎向荷載激勵產(chǎn)生的橫波的速度略減小，橫波到時略延遲。

（2）TI土層的存在使基巖上單一TI土層情況的時程結(jié)果表明：除了具有與半空間類似的規(guī)律外（①波速值隨傳播方向改變，②橫波分裂，③TI介質(zhì)對稱性），TI土層的存在使位移和應力幅值都減小，也使得位移和應力時程曲線較均勻半空間情況更為復雜。不僅有荷載激勵直接產(chǎn)生的P、SV和SH波，還有從土層與基巖交界面反射回來的反射P、SV和SH波，直達波與反射波的疊加使得結(jié)果更加復雜[17]。

（3）時域內(nèi)的位移幅值云圖結(jié)果表明：首先，不同TI材料的介質(zhì)中波的傳播速度不同，各向同性介質(zhì)中波沿各個方向的傳播速度相同，在某一水平面上表現(xiàn)為波的傳播是圓形擴散；同一TI半空間中（半空間2和3），波沿各個方向的傳播速度不再相同，在某一水平面上表現(xiàn)為波的傳播是圓形擴散。其次，TI半空間1在3.0時刻以及TI半空間3在2.0時刻的水平位移幅值云圖均體現(xiàn)了S波分裂成SV波和SH波的現(xiàn)象。

其次，由于TI介質(zhì)中SV波與SH波的傳播速度不再相同，橫波S波在TI半空間中分裂成了SV波和SH波，TI半空間1在3.0時刻以及TI半空間3在2.0時刻的水平位移幅值云圖均體現(xiàn)了橫波分裂現(xiàn)象，這也是與各向同性介質(zhì)完全不同的一種特性[18]。以上這些規(guī)律與上2.1節(jié)位移時程規(guī)律一致。

最后，位移幅值時域云圖表現(xiàn)出了對稱和反對稱性質(zhì)。比如，圖6(a)水平荷載作用時的水平位移云圖與7(b)豎向荷載作用時的豎向位移云圖關(guān)于水平坐標軸（x、y軸）對稱；圖6(b)水平荷載作用時的豎向位移云圖與圖7(a)豎向荷載作用時的水平位移云圖關(guān)于x坐標軸對稱，關(guān)于y坐標軸反對稱。