一道物理競賽題的深度探討

摘 要：文章以分類討論和反證法的形式對一道物理競賽題進行了深度探討。

關(guān)鍵詞：競賽題；分類討論；反證法；3N+1

一、 模型簡化

【試題】 一質(zhì)點在x軸上運動，其初始坐標為x=x0（x0為大于零的正整數(shù)），質(zhì)點按如下的規(guī)則運動：如果初始坐標是奇數(shù)，則下一步運動到x=3x0+1處，如果初始坐標是偶數(shù)，則下一步運動到x=x02處；質(zhì)點到達新位置以后，再把該點坐標當成下一過程的初始坐標，按照上述規(guī)則不停運動。求質(zhì)點運動無窮多個步驟以后，可能的位移為多少？

【模型簡化】求質(zhì)點的位移，關(guān)鍵是求質(zhì)點的末坐標在哪里？為了討論方便，上述試題可表述成：任意寫出一個自然數(shù)N，并且按照以下的規(guī)律進行變換，如果是個奇數(shù)，則下一步變成3N+1；如果是個偶數(shù)，則下一步變成N/2。得到一個結(jié)果之后，再重復(fù)規(guī)則運算，則變換無窮多個步驟之后的結(jié)果可能為？先舉一個例子。

若起始數(shù)為5，則有如下的變換流程：

從上述例子可以看出，“5”最終跌入了“4-2-1-4”循環(huán)，那么其他數(shù)值是否也會跌入這個循環(huán)？答案是肯定的，感興趣的讀者可以再舉幾例試試，下面筆者給出一般性的證明。

二、 筆者的證明

（一） “3N+1”與倍數(shù)的關(guān)系

對于任意奇數(shù)N，根據(jù)變換規(guī)則，它的第一步將變?yōu)?N+1，此時放大了多少倍？

倍數(shù)=3N+1N=3+1N

①當N=1時，倍數(shù)=4；②當N為大于1的奇數(shù)時，“乘3加1”變換相當于把奇數(shù)放大了三點幾倍。

（二） 任意自然數(shù)經(jīng)過多步變換之后，能回到自身？

為了討論的方便，我們設(shè)起始數(shù)為偶數(shù)。因為對奇數(shù)實施“乘3加1”變換時，它將變成偶數(shù)，只要證明偶數(shù)經(jīng)過多次角谷變換之后都后回到谷底1，則奇數(shù)同樣如此。

①自然數(shù)經(jīng)過兩步變換能回到自身？

設(shè)x1為起始偶數(shù)項，x1要想回到自身，只能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù)，顯然“乘3加1”放大的倍數(shù)不等于“除以2”縮小的倍數(shù)，因此一切自然數(shù)不可能經(jīng)過兩步變換回到自身。

②自然數(shù)經(jīng)過三步變換能回到自身？

設(shè)x1為起始偶數(shù)項，x1要想回到自身，只能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù)，所以流程中只能有兩次“除以2”變換和一次“乘3加1”變換，根據(jù)流程可列如下方程：

x14×3+1=x1，解得x1=4，x2=x12=2，x3=x22=1

結(jié)論：在一切自然數(shù)中，只有1、2、4三個數(shù)經(jīng)過三步變換能回到自身。

③自然數(shù)經(jīng)過四步及其以上的變換時，能回到自身？

當變換過程有四個及其以上的步驟時，流程至少包含兩個“乘3加1”變換，否則放大倍數(shù)遠小于縮小倍數(shù)，但是一旦出現(xiàn)兩次“乘3加1”變換，至少有一次的放大倍數(shù)為“三點幾倍”，出現(xiàn)小數(shù)，而縮小倍數(shù)只能是偶數(shù)，兩者不可能相等。所以一切自然數(shù)經(jīng)過四步及其以上的都不可能回到自身。

綜上所述，1、2、4除外的一切自然數(shù)按規(guī)則變換后都不能回到自身，無論過程有多少步。

（三） 用反證法證明角谷猜想

假設(shè)自然數(shù)x按規(guī)則變換后沒有落入“4-2-1-4”循環(huán)，則該數(shù)將無限度演變下去，因為1、2、4除外的一切自然數(shù)按規(guī)則變換時都不能回到自身。設(shè)演變過程中出現(xiàn)m次“乘3加1”變換和n次“除以2”變換（說明：對奇數(shù)進行“乘3加1”變換為偶數(shù)，每次“乘3加1”變換之后必為“除以2”變換，所以n>m），演變的結(jié)果為

f（x）=3mx2n+3m2n+3m-12n-1+3m-22n-2+…

令n=m+k，則有

f（x）=12k3mx2m+3m2m+3m-12m-1+3m-22m-2+…+32=12k3mx2m+321-32m1-32=12k32m（x+3）-3=12k32m（x+3）-32k

顯然，當式中的k與m無限度遞增取值下去時，演變到某步時將會出現(xiàn)小數(shù)。這與變換的規(guī)則是矛盾的（按照規(guī)則變換的結(jié)果只能是整數(shù)），因此假設(shè)不成立，即一切自然數(shù)按規(guī)則變換后都要落入“4-2-1-4”循環(huán)。

三、 答案揭曉

根據(jù)上述討論的結(jié)果，質(zhì)點運動無窮多個步驟以后，其末坐標可能是x=1、x=2或x=4，所以質(zhì)點可能的位移有Δx=x0-1、Δx=x0-2或Δx=x0-4。

作者簡介：

蔣金團，中學一級教師，云南省保山市，云南省保山市施甸縣第一完全中學。