循環群若干重要性質的探討

摘 要：在《近世代數》中有一個非常重要的內容，那就是群，而循環群是一種特殊的群，它具有很多性質和應用，在文章中給出了它的五條重要性質.

關鍵詞：循環群；生成元；群的階

在《近世代數》中循環群作為一類特殊的群，它的性質有很多，下面給出它的五條重要而且常用的性質。

定義 若一個群的每一個元都是G的某一個固定元a的乘方，就把G叫做循環群，用符號G=（a）表示。

性質1：一個循環群一定是一個交換群。

證明：設x=am和y=an是循環群G的任意兩個元，則xy=aman=am+n=yx，所以循環群G是交換群。

性質2：（1）假定G是無限階的循環群，G是任何循環群，則G與G同態。

（2） 假定G與G是兩個有限循環群，它們的階各是m與n，若G與G同態，則nm。

證明：（1）設G=（a），G=（b），定義φ：ak→bk，k∈Z。因為G=（a）是無限循環群，所以a為無限，從而ak=alk=l。于是，若ak=al，則φ（ak）=φ（al），故φ是映射。又易知φ是滿射且保持運算，因此G與G同態。

（2） 因G與G同態，設φ為其一同態滿射，則G/KerφG，于是nm。

性質3：循環群的子群和商群都是循環群。

例1：設循環群G=（a），N是G的一個子群且（G：N）=m。證明G/N是m階循環群且e，a，…，am-1可取作N的陪集的代表。

證明：由性質3知，G/N是循環群且N也是循環群。令N=（at），則易知N，aN，…，at-1N是G關于N的所有不同的陪集。

因為（G：N）=m，所以t=m，于是e，a，…，am-1可取作N的陪集的代表，從而G/N是由aN生成的m階循環群。

性質4：（1）無限循環群有無限多個子群；

（2） 當（a）為n階循環群時，對n的每個正因數k，（a）有且只有一個k階子群，這個子群就是（ank）。

證明：（1）設（a）為無限循環群，則易知（e），（a），（a2），…是（a）的全部互不相同的子群（且顯然（a），（a2），…都是無限循環群）。

（2） 設（a）為n階循環群，則a=n，又設kn，并令n=kq，則aq=k，從而（aq）是（a）的k階子群。又設N也是（a）的一個k階子群，則由性質3，設N=（am），則am=k，但am=n（m，n），從而n（m，n）=k，n=k（m，n）。由上及n=kq得q=（m，n），qm，于是am∈（aq），（am）（aq）。但由于（aq）和（am）的階都是k，故（am）=（aq），即（a）的k階子群是唯一的。

性質5：無限循環群（a）有兩個生成元，即a和a-1；n階循環群有φ（n）個生成元，其中φ（n）為歐拉函數。

證明：當a=∞時，（a）只有生成元a和a-1。

當a=n時，元ak（0

例2：設G是n階循環群，若G中有m階元素，則G中恰有φ（m）個m階元素。

證明：因G為n階循環群，且G中有m階元素a，則（a）為m階循環群，由性質5知（a）有φ（m）個生成元，即（a）中有φ（m）個階為m的元素。

設b為G中任一個階為m的元素，則（b）也是G的一個m階循環子群，但由性質4知，循環群G只有一個m階子群，故必（b）=（a），從而b∈（a），即G的m階元素全在（a）中，因此，G中恰有φ（m）個m階元素。

參考文獻：

[1]張和瑞著.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]楊子胥編.近世代數習題解[M].濟南：山東科學技術出版社，2003（1）.

作者簡介：

霍鳳茹，河北省衡水市，衡水學院數學與計算機科學系。