在幾何直觀視域下培養推理能力

摘 要：在幾何直觀視域下培養學生的推理能力，需要理解圖形的特征，把握圖形的本質，讓學生的推理有基礎；需要讓學生學會畫好示意圖，把握問題本質，讓學生學會借助于圖形去思考；需要以形輔數，借助于圖形思維，讓學生從圖形去把握數與數之間的關系。

關鍵詞：圖形特征；示意圖；以形輔數

華羅庚說：“數無形少直觀，形無數難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”從數學學科本身來說，運用數與形結合可以讓學生直觀理解抽象的數學知識。從兒童心理發展來說，幾何直觀可以讓兒童借助于圖形去直觀地思考問題，培養兒童的推理能力。在小學，兒童學習數學的過程中，可以從這樣幾個方面去關注幾何直觀，培養兒童的推理能力。

一、 理解圖形特征，把握圖形本質

在幾何直觀視域下學生的推理學習，圖形教學是一個關鍵。所以要依附圖形教學，讓學生在認識圖形，研究圖形特征，思考與圖形有關問題的過程中，以圖形為載體進行學習與思考，培養學生的推理能力。具體可以從這樣幾個方面進行：

（一） 初步認識，根據名稱作圖形

在初步認識圖形的過程中，學生看到圖形的形狀，能夠說出圖形的名稱，在學生建立了圖形的形狀與名稱之間的聯系后，在后續學習的過程中，可以進一步轉換學習的方式，讓學生根據名稱作圖形，培養學生的推理能力。例如，在蘇教版小學數學一年級下冊《認圖形（二）》的教學過程中，在學生能夠根據圖形的形狀判斷出是長方形還是正方形后，可以通過下面的活動，鞏固對圖形的認識，培養學生的推理能力：圍一圍，根據要求在釘子板上圍出長方形、正方形和三角形；選一選，從袋子里的積木中找到上面有長方形、正方形、三角形和圓的積木；找一找，從生活中找到有哪些物體的面是長方形、正方形、三角形和圓。上述三個過程，學生在圍、找和選的過程中，都是先在大腦中想象出長方形、正方形、三角形和圓的形狀，然后依據形狀進行操作，培養了學生的推理能力。

（二） 研究特征，靈活轉換圖形

學生在后續學習過程中，需要進一步研究圖形的特征。在學生認識了圖形的特征后，可以進行不同圖形之間的轉換，借助想象打通不同圖形之間的關聯。例如，在認識了長方形和正方形的特征后，給學生一個正方形，想一想，如何把它變成長方形？再給一個長方形，想一想：如何把長方形變成正方形？在學生想象后，進行操作驗證。學生在想象的過程中，首先在頭腦里想象圖形的形狀，然后在頭腦里根據圖形的特征合理調整，最后通過操作，進一步驗證調整的合理性。根據圖形特征讓學生對不同圖形進行轉換，學生的思維在想象與操作之間進行轉換，有效培養學生的推理能力。

（三） 解決問題，學會想象圖形

學生認識了圖形的特征后，在解決有關于圖形的問題時，可以通過不同層次的要求去培養學生的形象思維。例如，在蘇教版小學數學六年級上冊《認識長方體和正方體》的學習過程中，有這樣一道例題：做一個無蓋的長4分米，寬3分米和高3分米的魚缸，需要玻璃多少平方分米？在學生學習的過程中，可以通過這樣幾個層次逐步培養學生的推理能力：首先在題目出示后，給題目配上規范的示意圖，讓學生在圖上標上數據，根據圖形去解決問題；其次，在學生能夠看圖解決問題后，撤除示意圖，讓學生自己畫出示意圖，然后解決問題；最后，在學生能夠畫出示意圖解決問題后，直接讓學生在頭腦里想象出圖形去解決問題。通過上述從有圖到畫圖，最后到無圖解決問題的過程中，學生逐步學會在大腦里想象圖形，并且在大腦里對圖形進行適當的操作，培養學生的推理能力。

二、 畫好示意圖形，把握問題本質

學生在認識圖形，研究圖形特征以及解決與圖形有關的問題過程中，通過讓學生借助于圖形思考問題，培養學生的形象思維。學生在解決一些關于數與代數的問題過程中，同樣也可以運用相關示意圖去描述問題之間的關系，把問題之間的隱性聯系直觀化，讓學生更加直觀地把握問題之間的聯系，培養學生的推理能力。

（一） 自創示意圖，把意義直觀化

有些數學概念相對而言比較抽象，學生理解這些抽象的數學概念的時候，可以把這些抽象的概念直觀化，讓抽象的意義依附于基本的示意圖而存在，培養學生的推理能力。例如，學生在理解加法和減法意義的過程中，可以讓學生自創示意圖，表示“合起來”和“去掉”兩個意義。學生可以借助于兩個長方形合并成一個長方形的過程，表示合起來，直觀表征加法的意義；可以借助于從一個長方形里去掉一部分的過程，表示去掉的意義，借助形象表征減法的意義。通過這種自創示意圖表示抽象概念的方式，讓學生借助于直觀的示意圖去表征抽象概念的意義，把抽象的意義依附于具體的圖形而存在，培養學生的推理能力。

（二） 利用線段圖，把握數量之間的關系

有些數與代數的問題，題目里數量之間的關系比較隱蔽，借助于線段圖可以讓問題之間的關系更加明晰，讓學生借助于直觀思考問題，培養學生的形象思維。例如，在蘇教版小學數學四年級下冊《解決問題策略》教學過程中，可以通過這樣幾個層次的教學，培養學生的推理能力：首先，在例題教學過程中，讓學生借助于圖形完整表征圖中的和差問題的數量關系；其次，在練習過程，可以把線段圖進行簡化，只要借助于簡單的示意圖表征其中的關系；最后，在后續練習過程中，只要在頭腦里想象出示意圖。通過從規范的畫圖，到壓縮圖形的細節，運用示意圖表示了題中數量之間的關系，最后到在頭腦里想象示意圖，讓學生逐步學會運用示意圖表征問題之間的數量關系，逐步提升學生的推理能力。

三、 以形輔數，用直觀表征數的意義

在數學學科中培養學生的形象思維，最重要的一個載體也就是以形輔數，通過圖形把握數的意義以及數與數之間的關系，從而培養學生的推理能力，具體可以從這樣幾個方面進行：

（一） 在數的認識過程中，借助于圖形把握數的本質

數是抽象的產物，特別是對分數與小數的認識，如果僅僅停留于機械的意義表述，那么學生就不會深度理解數的本質意義。所以，在分數的認識過程中，借助于各種不同的圖形，通過平均分的過程，形成對分數意義的圖形表達，然后抽象出分數的意義。用同樣的方法形成對小數意義的認識。學生在后續描述分數與小數意義的過程中，可以再讓學生想象一下，如何借助于具體的圖形表述分數與小數的意義。通過這樣的認數過程，讓學生借助于圖形把抽象的意義形象化，有效培養學生的推理能力。

（二） 借助圖形，把握數自身特征

學生理解了一類數的意義后，可以通過圖形去研究一個數自身的特征，形成與這個數相似數的特征的認識，發展學生的形象思維。例如，在整數中有1、4、9、16這些平方數（如圖1），可以通過具體的圖形讓學生去把握這些平方數的實際形狀。通過圖形的特征去理解數的特征，形成對數的形象化認識，理解數的實際意義。當然，除了平方數，還可以通過“三角數”等數的認識，讓學生學會借助于圖形去把握數的自身特征的意義，體會數與形之間的聯系，培養學生的推理能力。

（三） 利用示意圖，理解數與數之間的關系

學生在理解數的意義的過程中，借助于具體的圖形，可以加深學生對數的意義的把握，在描述數與數之間關系的過程中，同樣也可以借助于圖形讓學生直觀把握數與數之間的關聯。例如，在整數教學的過程中，借助于數軸，讓學生理解4離0近一些，還是離10近一些？讓學生憑借數軸體會到數的大小關系。后續過程中，學生進一步擺脫數軸的限制，超越數軸，能夠憑著前面積累的直觀經驗去判斷兩個數之間的距離。通過圖形對數與數之間的關系形成直觀體驗，后續學習過程中直接利用直觀經驗判斷，培養學生的推理能力。

在小學數學教學的過程中，基于幾何直觀，培養學生的推理能力，需要基于圖形教學，但是不能僅僅拘于圖形教學，只有在充分挖掘多種素材，一方面讓抽象的數、數量以及它們之間的關系形象化，另一方面讓學生學會借助于直觀思考，這樣才能夠有效培養學生的推理能力。

參考文獻：

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[2]張奠宙，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]（美）羅莎琳德·查爾斯沃斯.3～8歲兒童的數學學習經驗[M].潘月娟，譯.北京：人民教育出版社，2007.

作者簡介：

潘龍和，福建省龍巖市，古田縣第二小學。