基于排隊論的災(zāi)害時人員電梯疏散時間計算

鄭波濤，毛曉汶，楊萍茹，許 石，郝彧露

(1.重慶城市綜合交通樞紐(集團(tuán))有限公司，重慶 400060;2.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 611756)

隨著世界經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，在高層、超高層建筑出現(xiàn)的同時，多層深埋地下建筑的數(shù)量也在逐漸增加，而人員通過樓梯上行過程中需要消耗大量的體力，會嚴(yán)重影響災(zāi)害時人員的疏散效率[1]。已有研究表明，電梯協(xié)助疏散有利于縮短人員疏散時間[2-3]。目前，很多學(xué)者對災(zāi)害時人員電梯疏散的疏散時間進(jìn)行了相關(guān)研究，如在合理調(diào)度電梯以縮短疏散時間方面，Ma等[4]通過建立電梯疏散網(wǎng)絡(luò)模型，總結(jié)了電梯輔助撤離的原則；Chen等[5]利用Pathfinder制定出不同疏散情景，研究了電梯疏散的策略；王晶等[6]將緊急疏散電梯調(diào)度問題描述為整數(shù)規(guī)劃問題，并給出了一種啟發(fā)式緊急疏散電梯調(diào)度的算法。此外，李釗等[7]研究了不同電梯性能、樓層高度、人員分布等因素對人員電梯疏散時間的影響。目前，在計算人員電梯疏散時間方面，一些主要電梯公司和制造商開發(fā)了一些計算人員疏散時間的仿真模型如BTS[8]、ELEVATE[9]和ELVAC[10]等模型，但對于管理者或非專業(yè)人員來說，使用這些軟件進(jìn)行計算時具有一定的難度。

排隊論(Queuing Theory)是運(yùn)籌學(xué)中的一個重要分支，是在各種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律的基礎(chǔ)上，探究擁擠現(xiàn)象(排隊、等待)的科學(xué)[11]。排隊論理論已廣泛應(yīng)用到生活中的各個領(lǐng)域，如體檢、交通等[12-15]。在災(zāi)害時使用電梯和樓梯協(xié)同疏散的過程中，也存在人員需要排隊等待的問題，因此本文根據(jù)排隊論相關(guān)理論推導(dǎo)出電梯總疏散時間TRSET的計算公式，以為管理人員或科研工作者計算人員疏散時間提供參考。

1 電梯疏散排隊模型的建立

排隊模型是20世紀(jì)50年代初由Kendall引入的，它大大簡化了排隊系統(tǒng)的描述。具體記法如下[10]：

X/Y/Z/N

其中:X表示顧客相繼到達(dá)的時間間隔的分布；Y表示服務(wù)時間的分布；Z表示服務(wù)臺的個數(shù)；N表示等待空間數(shù)。若N為無窮大時，即為等待制時，省去N而只用X/Y/Z記一個排隊系統(tǒng)。這種分類方法是以排隊系統(tǒng)中的主要特征，即顧客相繼到達(dá)的時間間隔的分布、服務(wù)時間的分布和服務(wù)臺的個數(shù)對排隊模型進(jìn)行分類的。

在排隊論中，一般令M表示負(fù)指數(shù)分布，此時隨機(jī)排隊模型稱為馬爾可夫型；D為確定型分布；Ek為k階愛爾蘭(Erlang)分布；G為一般分布；Gl為一般獨(dú)立的分布。

電梯疏散的問題，可以利用排隊論理論進(jìn)行研究。電梯疏散中待疏散的人員為乘客，電梯為服務(wù)設(shè)施，Barney[16]的統(tǒng)計分析證明，乘客到達(dá)電梯服從泊松分布，即乘客到達(dá)的時間間隔X服從負(fù)指數(shù)分布(M)；電梯的服務(wù)時間指電梯運(yùn)送乘客后往返一次的時間，一般假設(shè)電梯服務(wù)時間Y也服從負(fù)指數(shù)分布(M)[10]；同時假設(shè)有n部電梯，電梯排隊規(guī)則為先到先服務(wù)、后到后服務(wù)。因此，電梯疏散排隊模型可描述如下：

M/M/n

2 基于排隊論的電梯疏散時間計算公式推導(dǎo)

2. 1 電梯往返時間的計算

任一部電梯的往返時間tr指電梯從大廳層出發(fā)接送乘客后再次返回大廳層往返一次的運(yùn)行時間。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[9],電梯往返時間tr包括三個部分，其表達(dá)式為

tr=tm+ts+tp

(1)

式中：tm為電梯空載情況下往返一次的運(yùn)行時間(s)；ts為電梯往返一次停靠時開關(guān)門和預(yù)啟動的時間(s)；tp為乘客進(jìn)出電梯的時間(s)。

電梯往返一次可能在多個樓層停靠去接送乘客，設(shè)電梯往返一次到達(dá)的最高樓層為第h層，為了方便計算，本文將地面大廳層認(rèn)定為第0層，則空載情況下電梯往返一次的運(yùn)行時間tm可近似用下式表示：

tm=2ht1

(2)

式中：h為電梯往返一次運(yùn)行的樓層數(shù)(層)；t1為電梯勻速運(yùn)行一層樓層距離所需的時間(s)。

由于電梯往返一次的過程中必定會在大廳層停靠一次，設(shè)s為除大廳層外電梯往返一次停靠的次數(shù)，則電梯停靠的總次數(shù)為(s+1)次，t2為電梯每次停靠時開關(guān)門的時間和電梯加減速延誤的時間，則電梯往返一次停靠時開關(guān)門和預(yù)啟動的時間ts可以描述為

ts=(s+1)t2

(3)

式中：(s+1)為電梯停靠的總次數(shù)(次)；t2為電梯每次停靠時開關(guān)門的時間和電梯加減速延誤的時間(s)。

乘客進(jìn)出電梯的時間tp可以表示為

tp=2Nit3

(4)

式中：Ni為該次往返電梯運(yùn)送的人數(shù)(人)；t3為單個乘客進(jìn)入電梯或走出電梯轎廂的時間(s)，假設(shè)乘客走進(jìn)或走出電梯轎廂的時間相同。

因此，電梯往返時間tr的計算公式為：

tr=2ht1+(s+1)t2+2Nit3

(5)

2.2 基于乘客到達(dá)率的電梯往返一次運(yùn)行時間期望值計算

設(shè)Tr、H、S、N分別為tr、h、s、Ni的期望值，為了得到Tr與乘客到達(dá)率λ之間的關(guān)系，需將變量H、S和N用乘客到達(dá)率λ表示。那么，電梯往返一次運(yùn)行時間的期望值Tr為

Tr=2Ht1+(S+1)t2+2Nt3

(6)

上式中，t1、t2和t3均為常數(shù)，變量為H、S和N。由于乘客到達(dá)電梯服從泊松分布，通過極大似然估計可以得出乘客到達(dá)率λ的極大似然估計量為乘客的平均到達(dá)率。因此可以將變量H、S和N用乘客到達(dá)率λ表示，從而得到電梯往返一次運(yùn)行時間的期望值Tr與乘客到達(dá)率λ之間的關(guān)系。

2.2.1 電梯往返一次運(yùn)行的樓層數(shù)期望值H的計算

定義電梯相繼到達(dá)大廳層的時間間隔t為電梯往返時間T除以建筑內(nèi)的電梯數(shù)量L，即t=T/L，設(shè)單部電梯各個樓層的乘客到達(dá)率為λ，在t這段時間內(nèi)有N(t)=k個乘客來到某個樓層某部電梯前的概率Pk(N(t))服從參數(shù)為λ的泊松分布，即：

Pk(N(t)=k)=(λt)ke-λt/k! (k=0,1,2,…)

(7)

假設(shè)電梯在某個樓層不停留的概率為q，則停留的概率為p=1-q，當(dāng)k=0時說明這個樓層沒有乘客，則電梯在該樓層不停留的概率q=e-λt，那么停留的概率p=1-q=1-e-λt。

考慮地下疏散電梯需向上運(yùn)行的情形，設(shè)電梯服務(wù)的地下樓層有n層，電梯運(yùn)行1層相當(dāng)于電梯最低下到-1層，沒有繼續(xù)往下運(yùn)行，即-1層以下樓層乘客數(shù)k均為0，則電梯到達(dá)-1層的概率為P1{H=1}=pqn-1。電梯運(yùn)行樓層數(shù)為2層相當(dāng)于電梯最低下到-2層，沒有繼續(xù)往下運(yùn)行，則電梯到達(dá)-2層的概率為P2{H=2}=pqn-2。以此類推，則得到電梯到達(dá)的最低樓層為m的概率為Pm{H=m}=pqn-m(m=1，2,…,n)。那么電梯運(yùn)行的樓層數(shù)期望值H可表示為

(8)

式中：n為樓層數(shù)；m為電梯到達(dá)的最低樓層；Pm為電梯到達(dá)的最低樓層為m的概率。

同理，可以推導(dǎo)出電梯在地面上運(yùn)行時，電梯運(yùn)行的樓層數(shù)期望值H的計算公式與上式一致。本文將地面大廳層假定為第0層，因此在描述地面上的樓層時，第m層實際為日常樓層中的第m+1層。

2.2.2 除大廳層外電梯往返一次停靠次數(shù)期望值S的計算

電梯往返一次運(yùn)行時間內(nèi)停靠的次數(shù)可以用樓層數(shù)乘以電梯在某一層停留的概率Pt來表示，即有：

S=nPt=n(1-e-λt)

(9)

式中：n為樓層數(shù)；Pt為電梯在某一層停留的概率。

2.2.3 電梯往返一次運(yùn)送的人數(shù)期望值N的計算

假設(shè)到達(dá)電梯的乘客較少，電梯往返一次運(yùn)送的人數(shù)期望值N為時間間隔t內(nèi)所有到達(dá)電梯的乘客，由于每層的乘客到達(dá)率為λ，那么n層的乘客到達(dá)率為nλ，即有：

N=E(n)t=nλt

(10)

式中：N為電梯往返一次運(yùn)送的人數(shù)期望值，且1≤N≤R(R為電梯的荷載，N大于或等于1說明電梯運(yùn)行時不能空載，N小于或等于R說明電梯不能過載運(yùn)行)；E(n)為乘客在單位時間內(nèi)到達(dá)電梯的人數(shù)n的期望值。

將公式(8)、(9)和(10)代入公式(6)中，可得到電梯往返一次的平均運(yùn)行時間期望值Tr，即

[n(1-e-λt)+1]t2+2nλtt3

(11)

2. 3 電梯總疏散時間的計算

電梯總疏散時間為

TRSET=TA+TR+Te

式中TA為探測報警時間，保守設(shè)為60 s；TR為人員響應(yīng)準(zhǔn)備時間，保守設(shè)為120 s。

則電梯總疏散時間為

n(e-λt)mt1+[n(1-e-λt)+1]t2+2nλtt3}

(12)

2. 4 電梯疏散時間計算公式的簡化和求解

(13)

由公式(13)求出乘客平均到達(dá)率λ后，再根據(jù)不同建筑的具體情況對t1、t2、t3、n和L進(jìn)行賦值，則可由公式(11)求出電梯往返時間Tr。但由于公式(11)存在指數(shù)項，直接求得相應(yīng)的解具有一定的難度，因此可根據(jù)牛頓迭代法，將其轉(zhuǎn)化為求解下列線性方程的根，并通過Matlab編程求解。其線性方程為

[n(1-e-λt)+1]t2+2nλtt3

(14)

式中：t、n、λ、L為變量，m的數(shù)值隨n的變化而變化;其余為常數(shù)。

為了得到t與λ的關(guān)系式，需將n和L的值固定，則可以得到特定條件下t與λ的對應(yīng)關(guān)系式。

為了得到某建筑物電梯疏散時間的通用計算公式，利用Matlab編程獲得了一組{λi，ti|i=1,2,…,n}的測量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合，可得到簡化后的λ與t的擬合關(guān)系曲線和關(guān)系式，進(jìn)而得到電梯往返時間簡化后的表達(dá)式。在不同的建筑中，只要改變源程序中的t1、t2、t3、n和L的值，并對得到的{λi,ti}測量數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合，即可得到λ與t的擬合關(guān)系曲線和關(guān)系式，進(jìn)而得到適用于該建筑電梯總疏散時間TRSET的計算公式。

3 實例應(yīng)用與分析

本文以重慶沙坪壩地下大型綜合交通樞紐為實例，利用上述得到的電梯疏散時間計算公式對該建筑電梯總疏散時間進(jìn)行了計算與分析，以驗證該計算公式的有效性。

該地下建筑共負(fù)七層(n=7)，共有34個載客電梯(L=34)；每層高5 m，電梯運(yùn)行額定速度v取2.5 m/s，在相鄰的兩個樓層運(yùn)行所需的時間t1取3 s；電梯為中分自動門，每次開關(guān)門的時間為4 s，考慮到電梯每次停靠時加減速造成的時間延誤，電梯停靠一次的時間t2取5 s；經(jīng)統(tǒng)計得出單個乘客進(jìn)入或走出電梯轎廂的平均時間t3為2 s，具體參數(shù)詳見表3。

表1 重慶沙坪壩地下大型綜合交通樞紐的參數(shù)設(shè)置

本文利用Matlab編程，將建筑物參數(shù)代入到Matlab程序中，可得到簡化后的λ與t的擬合關(guān)系方程為

t=0.000 415λ3-0.040 176λ2+1.215 564λ-9.637 067

根據(jù)公式(12)可計算得到，沙坪壩地下綜合交通樞紐電梯總疏散時間TRSET為

(15)

本文選取某種工況來進(jìn)行模擬驗證，該工況為：負(fù)六到負(fù)一層的人員走樓梯，負(fù)七層的人員坐電梯。由模擬結(jié)果可知，該建筑電梯總疏散時間為1 740.5 s，約為29 min。負(fù)七層中乘坐電梯的總?cè)藬?shù)為3 659人，計算得乘客平均到達(dá)率λ為126 人/min，將λ的數(shù)值代入公式(15)求解，可計算得到電梯總疏散時間為27.43 min。該計算結(jié)果與模擬結(jié)果29 min相差 1.57 min，相對誤差為5.4%，證明電梯疏散時間的計算公式是有效的。

4 結(jié) 論

(2) 以重慶沙坪壩地下大型綜合交通樞紐為例，通過模擬得到的電梯疏散時間與通過本文公式計算得到的電梯疏散時間之間的相對誤差為5.4%，誤差較小， 證明了本文提出的電梯疏散時間計算公式的有效性。利用本文的計算公式可以在較短時間內(nèi)計算出建筑物電梯疏散時間，可為緊急疏散情況下管理人員的決策提供幫助。