相位恢復算法在仿真與實驗上的研究

劉韻杰 于穎 王海鳳

摘要：相位恢復算法一直存在著精確度不高，收斂速度慢甚至停滯不前等問題。將基于光強傳輸方程（TIE）法與G-s迭代算法混合提高了相位恢復的精確度，梯度算法的提出加大了迭代步長，使得收斂速度加快。采用Gs-TIE算法和振幅加成梯度算法分別從仿真和實驗的角度去比較分析恢復的效果。通過對二維圖像仿真得出，振幅加成梯度算法在收斂速度上是GS-TIE迭代算法的3倍，精確度是Gs-TIE迭代算法的10倍。從實驗結果得知，GS-TIE恢復的相位清晰可見，輪廓明顯，在邊緣處過度均勻，而振幅加成梯度算法相對比較模糊，在輪廓邊緣處過度不均勻，懸差較大。

關鍵詞：相位恢復;振幅加成算法;梯度算法;GS-TIE迭代算法

中圖分類號：0438.2 文獻標志碼：A

引言

在光的傳播過程中，光波搭載了物體的光強信息和相位信息，物體的光強信息可以通過CMOS或CCD采集，然而物體的相位信息卻無法通過這種手段去采集，這樣在對物體光波信息進行采集時，我們已經丟失了物體光波的相位信息。研究表明，光波的振幅中包含了物體20%的信息，接近80%的信息在光波相位中。同時，光波在空間中傳播會受到相位的影響，進而會影響到光波在空間中的光強分布，因此，獲取物體的相位信息對物體分析至關重要，相位復原也成為科研工作者關注的重點和熱點。

近十幾年來，研究學者提出了許多種相位復原的方法，都獲得了良好的效果且大部分成功地應用于相位成像。早在1971年，Gerchberg和Saxton提出了經典的G-S迭代算法，是一種測量焦面和鄰近的離焦面的光強度信息來恢復兩個面的光波相位信息的算法。在此基礎上改進后又提出了多種優良的算法，例如誤差減少（ER）算法、楊一顧（Y-G）算法、混合輸入輸出（HIO）算法等，上述算法都避免不了由于G-S迭代算法初相位的隨機性致使相位恢復收斂時間長、迭代不穩定等缺點。此后又提出了光強傳輸方程（TIE）法，通過對TIE求解可得近似初相位，主要求解方法有格林函數、澤尼克多項式以及傅里葉變換方法，其中傅里葉變換方法效果最好，但精度效果不好。結合G-S迭代法和T1E法，將由TIE求解得到的初相位應用到G-S迭代算法中，便可以得到收斂快精度高的相位恢復算法。

本文主要分析了GS-TIE算法和振幅加成梯度算法的基本理論，介紹了振幅加成梯度算法，并分別在二維圖像仿真中與實驗中對比了GS-TIE算法與振幅加成梯度算法兩種算法在相位恢復的精確度，收斂速度和恢復相位效果方面的優劣。其次，對南瓜莖縱切面細胞在40倍顯微鏡下觀察，以實驗的方式驗證并討論兩種方法迭代后的恢復效果。

1原理

1.1光強傳輸方程TIE

光學傳輸方程最開始是由Teague提出，描述的是菲涅爾衍射場中光強I的軸向梯度與相位P垂軸方向的關系。它把物平面上波的強度和相位信息與光傳播方向上的強度變化聯系起來，將不可直接測量的相位變化轉化成可直接測量的強度變化，并通過測量光強來顯示相位的梯度，表達式為

1.3振幅加成梯度算法

為了克服G-S迭代算法誤差收斂慢的缺陷，加快算法的收斂效率，采用梯度算法，通過加大每次迭代的步長，從而加快算法的收斂，形成了加速形式的角譜迭代算法。同時，將每一次衍射到離焦面的振幅與焦面的實際振幅進行幅度a（O≤a≤2）的加成。在理論上，將每一次迭代的相位信息與振幅信息考慮在其中比只考慮相位信息的梯度算法更加穩定。

振幅加成是通過把焦面與離焦面的光強聯系起來構建兩者之間的關系，將綜合加成的振幅代替實際離焦面的振幅，不再是傳統的G-S迭代算法簡單的將實際振幅進行替換。這樣在迭代過程中綜合了焦面、離焦面的光強信息，進而加快了迭代的速度，使得迭代更加穩定。在此算法中，綜合離焦面光場Eo（xo，yo）與實際離焦面光場的振幅Uo（xo，yo）信息，對其變量參數a的幅度加成得到新的離焦面的振幅Eo（xo，yo）。

梯度算法的核心是通過本次算法迭代后產生的相位Ф^k（xi，yi）與前一次迭代相位Ф^k-1（xi，yi）的差作為梯度迭代的收斂方向，將akhk視作梯度迭代的收斂步長，經過數次循環迭代，便可以加快收斂速度，以較快的速度收斂。

具體算法流程如圖2所示。

2仿真及分析

通過以上理論，利用MATLAB進行仿真實驗，仿真具體參數如下：光波波長λ=632.8nm，采樣區域寬度為5 mmx5 mm，取樣點數為256 pixel×256 pixel，抗噪系數n=2，焦面與離焦面之間的距離為2mm。再利用如圖3所示的光強圖和相位圖模擬像面的復振幅分布，根據衍射場的角譜傳播理論，通過傳遞函數便可以得到相鄰像面的復振幅分布。

首先分析振幅加成梯度算法與GS-TIE算法的迭代精度。將算法在上述參數不變，a=0.8時，分別循環200次，得到如圖4所示。

如圖4所示，同時循環200次迭代后，GS-TIE算法振幅誤差均方根為1.57x 10^-y，振幅加成梯度算法振幅誤差均方根為2.37x10^-10，相比GS-TIE恢復算法，最終恢復精確度是GS-TIE算法的6倍。圖5為正確相位與迭代200次時振幅加成梯度算法和GS-TIE算法恢復相位的對比。由圖4同樣可以看出，振幅加成算法不僅精確度比GS-TIE算法高，在收斂速度方面也是優于GS-TIE算法的，下面將繼續分析兩種算法的收斂速度。

同樣在所有參數不變的情況下，設定振幅均方根誤差為1.5×10^-9時，比較兩種方法需要迭代的次數。如圖6所示，在達到設定的振幅均方根誤差時，GS-TIE算法需迭代209次，而振幅加成梯度算法只需要39次，大約僅需GS-TIE算法迭代次數的1/5便可達到同樣的效果，極大地提高了算法的收斂速度。圖7為正確相位與E=I.5x10^-9時振幅加成梯度算法、GS-TIE算法迭代恢復的相位。

3實驗分析與討論

本實驗是觀察南瓜莖縱切面細胞，在放大倍數為40的顯微鏡下觀察，在顯微鏡下通過CCD記錄焦點及附近的兩個面P1和P2，兩面間距為z=0.5mm，取樣點數為1 024pixel×1 024pixel，圖8為實驗記錄的面與兩種方法恢復出來的面。

將上述仿真的MATLAB程序修改成對應實驗需要的程序，迭代循環100次得到如圖9、10、11所示的恢復光強、恢復相位和恢復相位誤差曲線。

圖9、圖10可以直觀的區分出兩種方法恢復出相位的差異，振幅加成梯度算法在采用梯度算法后，導致在迭代求取相位時不能精確的處理每一個像素點，從而使得恢復的相位不均勻，相位像素點高低懸差較大，圖像輕微的模糊，清晰度不高。而GS-TIE算法采用經典的迭代算法處理每一個像素點，得到的結果清晰可見且非常均勻，還可以體現出相位的三維信息。從實驗數據上看，振幅加成梯度迭代算法恢復相位依然比GS-TIE迭代算法效果好，具體趨勢如圖1 1所示。

4結論

本文通過對振幅加成梯度算法和GS-TIE算法兩種算法從仿真到實驗進行比較，仿真結果表明，仿真振幅加成梯度算法無論在精度上還是在收斂速度上都優于GS-TIE算法，而對于實驗恢復效果，由于梯度算法在算法迭代過程中加大了迭代步長，結果迭代恢復相位問懸差較大，以致于清晰度不明顯;GS-TIE算法采用傳統的迭代方法，在迭代相位恢復效果上要優于振幅加成梯度算法，相位圖比較平滑清晰，每個像素恢復的也很細致。通過對一定距離離焦處像面的復原算法可用于研究立體再現，即裸眼3D效果，將恢復算法恢復相位加載于空間光調制器進行立體成像再現的研究。